Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Вот так математический метод работает в нашем мире. Один хороший математик утверждает, что он может доказать новую теорему. Он записывает доказательство на принятом жаргоне и показывает записи одному или нескольким коллегам. Они прорабатывают рукопись и выносят суждение. Один из выпусков Annals of Mathematics (том 141, 1995 г.) полностью посвящен доказательству ВТФ. Оно состоит из длинной статьи Уайлса и статьи Тейлора и Уайлса покороче. Хотя Уайлс обычно получает львиную долю в признании успеха, вклад Тейлора следует считать ключевым в этой истории.

Одна из причин того, что математический мир был так взволнован работой Уайлса над Великой теоремой Ферма, заключается в том, что в течение последних 50 лет она привела к созданию столь важных идей в теории чисел. Одной из предпосылок к работе Уайлса стал результат Кена Рибета (профессора математики в университете Беркли) о том, что ВТФ следует из знаменитой гипотезы Таниямы–Симура–Вейля. Много лет Уайлс хранил свой интерес к Великой теореме Ферма в секрете. Она считалась одной из неприступных задач — над ней активно работали более 300 лет — и он стеснялся обнародовать тот факт, что тратит на нее время. Но результат Рибета вернул ВТФ обратно на главную дорогу теории чисел. ВТФ стала предметом насущного интереса. Она стала величайшей нерешенной задачей, ключевые идеи которой лежали в главном русле современных исследований по теории чисел.

Если бы Уайлс смог доказать гипотезу Таниямы—Симура—Вейля, то Великая теорема Ферма следовала бы из нее. Но Уайлсу не удалось. В результате он доказал модифицированную (ограниченную) версию гипотезы, и этого оказалось достаточно для доказательства ВТФ.

Но сейчас уже много людей проверили доказательство Эндрю Уайлса. Некоторые шаги в нем поддались упрощению, а саму задачу удалось обобщить (знаменитая «гипотеза ABC» — одно из упрощений, ставшее довольно известным). Великая теорема Ферма считается настоящей теоремой, а идеи Уайлса стали важной частью в ткани теории чисел.

Работа Уайлса пролила свет на все идеи, которые привели его к победе над Великой теоремой Ферма. В частности, гипотеза Таниямы—Симура—Вейля вышла до некоторой степени из тени. В результате ее удалось доказать полностью. Это изящный пример того, как математика действует на практике.

11.9 Бесконечно малые

Когда Ньютон и Лейбниц изобрели математический анализ, люди не могли сразу же освоить эти новые идеи. Аналитические методы, несомненно, мощны, они применимы к таким задачам, которые долгое время считались неприступными. Ньютон успешно изучал и анализировал такие явления:

• движение;

• гравитация;

• отражение света;

• движение планет;

• механика.

Но в анализе есть некоторые трудные для понимания теоретические тонкости, сложные даже для его создателей. Среди этих трудностей — понятие предела, которое не было окончательно построено до 1821 г., когда Огюстен Луи Коши дал ему строгое определение. Одним из самых неясных мест во всей теории были бесконечно малые. Для Исаака Ньютона бесконечно малая величина — это положительное число, которое меньше любого обыкновенного действительного положительного числа. Так что бесконечно малая — это число, которое меньше , меньше , меньше 10^-10 и даже меньше радиуса протона. Как может существовать такая величина?

Не кто иной как епископ Беркли (1685–1753), который и сам был заметным человеком в академических кругах, скептически относился к анализу. В одном из своих посланий он писал:

Я говорю, некоторые люди, которые очень требовательны к свидетельствам в религии и притворяются, что верят только тому, что сами видят, эти люди соглашаются и верят во все эти вещи. Те люди, что соглашаются только с ясными данными, с трудом принимают неясные и вовсе темные. Но тому, кто переварит бесконечно малые, нет, я думаю, нужды придираться к чему бы то ни было божественному.

Епископу удалось окутать анализ завесой, которую никто не мог снять еще почти двести лет.

Правда в том, что никто — даже сам Исаак Ньютон — не знал, что же это такое — бесконечно малые. Для Ньютона они были чертовски удобны — они позволяли ему делать содержательные физические и математические выводы, которые вели к смелым и, по-видимому, верным заключениям. Однако основания всего, что сделал Ньютон, выглядели подозрительно.