Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

«Черное отчаяние» происходит отчасти от того, что решать математические задачи трудно, а время, потраченное чтобы (i) понять и (ii) решить задачу, как раз и становится причиной разочарования и печали. Когда твоя статья записана и ее пора предъявить миру, начинаешь беспокоиться о том, оценит ли твои усилия хоть кто-то. Ты потратил на проект год, два или больше, а получишь ли ты сопоставимое признание? Последний вопрос может проявиться в двух разных формах. Мир может решить, что твоя статья верна. Референт в том журнале, куда ты отнес статью, может подписать ее и рекомендовать к печати. Но ведь может случиться так, что никто не сочтет ее очень интересной, важной, оригинальной или новой. Великий математик Джон Литтлвуд говорил, что хорошая математическая статья должна быть новой, интересной и верной (см. [LIT]). Такие требования в наших занятиях математикой мы называем необходимыми, но не достаточными. Это означает, что статья, которая им не отвечает, закончит свое существование на помойке времени. И никто не гарантирует, что статья, для которой они выполнены, станет судьбоносной, или заслужит внимания и почестей, или кто-нибудь назовет ее «важной работой». Такая статья — только кандидат в сонм таких работ; у нее есть нужные признаки. Но только математическое сообщество или один (+ еще несколько) математик мирового уровня могут определить, значима ли эта работа, или ей место в мусорной корзинке.

Все тот же мотив повторяется раз за разом: только математическое сообщество решает, значима работа или нет, и это решение может исходить из внутренней ценности или просто моды. Это может показаться странным непосвященному, но в математике есть свои моды, группировки и предрассудки, как и в живописи, музыке, литературе или индустрии моды. В любой области случаются периоды интенсивного воодушевления, когда развиваются новые идеи и появляются новые статьи на темы, которые априорно считаются интересными. Спустя некоторое время очарование новизны уходит, все новое становится привычным и уютным как старый сюртук, а люди принимаются за что-то другое.

Большие шишки во главе математических факультетов — Беркли, Геттингена, Гарварда, MIT, Парижа, Принстона — имеют большое влияние: они определяют направления, по которым математика может развиваться, и какие темы считаются важными. Но математик любого (почти) университета может совершить прорыв, который привлечет всеобщее внимание и задаст новое направление исследований[130]. Какое-то время предмет этого большого открытия будет самым важным на горизонте исследований. По мере того, как важнейшие новые идеи будут развиваться, область будет пламенно популярной. Но через некоторое время первый жар поугаснет. Огонь может разгореться вновь, если кто-то в этой области выскажет новые идеи, и это часто случается. Но не случается столь же часто.

Так что если ваша новая статья, результат вашей интенсивной работы на протяжении долгого времени, относится к области широкого интереса, вы обнаружите, что заслужили много признания, вас будут приглашать на конференции, вы получите самые горячие похвалы. А если нет — статью отправят на полку и более или менее забудут.

Описанная здесь ситуация — обычный порядок жизни не только для математика, но и для ученого вообще и для всех людей, занятых творческим трудом — музыкой или живописью, танцами или кулинарией. Зрелый математик понимает, что работа в этой области удовлетворяет личное интеллектуальное любопытство и желание работать над своими идеями. Для большинства из нас это более чем достаточная причина продолжать поиски Грааля — следующей теоремы.

Конечно же, и мы об этом уже говорили, может случиться и так, что в новой статье есть ошибка. Если она маленькая, то скорее всего вы сможете ее поправить и все равно опубликовать статью. Если она серьезная, вы можете забросить эту тему и перейти к новой, чтобы оправдать свое существование. Иногда можно исправить даже катастрофическую ситуацию. Эндрю Уайлс сделал большую ошибку в своем первом доказательстве Великой теоремы Ферма (см. разд. 11.8). Ему пришлось потратить целый год на то, чтобы исправить ее, но в конце концов он сделал это. И снял урожай наград. 

11.10.1 Разочарование и непонимание

По-видимому, самая горькая и часто непоправимая ситуация возникает тогда, когда вы уверены, что ваша новая статья верна, но мир не принимает ее. Вы верите, что вы дали bona fide доказательство значительного нового результата, но математическое сообщество не верит в это доказательство. Если вы в такой ситуации, то вам повезло, если кто-то сядет рядом с вами и укажет на ошибку. Но чаще всего мир просто игнорирует статью, в которую не верит, и шествует мимо.