Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

У этой задачи длинная история. В 1914 г. никто иной как сам Биркгофф доказал существование хотя бы одной геодезической для любой метрики на замкнутой сфере. Двадцать лет спустя Люстерник и Шнирельман доказали, что сфера в трехмерном пространстве, снабженная любой римановой метрикой, имеет по крайней мере три геодезических. Примерно в то же время было доказано, что любая замкнутая ограниченная поверхность (с произвольной метрикой) имеет по крайней мере одну замкнутую геодезическую. Позднее, в 1960-х и 1970-х гг. Громолл, Мейер и Салливан показали, что поверхность с достаточно сложной топологией должна иметь бесконечно много различных геодезических. Вопрос для поверхностей с простой геометрией (топологией) оставался открытым. Тут-то и пришел Клингенберг. Он утверждал, что, пользуясь глубокими идеями теории Морса, смог ответить на вопрос. Но он не смог убедить в этом мир.

Математик Фридрих Хирцебрух проводит в Бонне ежегодные конференции под названием Arbeitstagungen. Они проходят довольно необычно. В первый день конференции собираются все участники и обсуждают, кто и почему будет выступать. После того как Клингенберг обнародовал свой результат, его пригласили на Arbeitstagungen. Но слушатели устроили ему тяжелое испытание, засыпав вопросами и ставя под сомнение различные этапы его доказательства. Доныне нет единого мнения, корректно ли доказал Клингенберг это важное утверждение. И в этом вопросе так и нет никакого прогресса, хотя Бангерт и Франкс выступили с новым подходом к этому вопросу. Им удалось получить результат о двумерной сфере в трехмерном пространстве.

• В разд. 10.4 мы уже рассказывали историю о программе геометризации Уильяма Тёрстона. Это одна из блестящих новых идей в геометрической топологии, из нее следует знаменитая гипотеза Пуанкаре. В конце концов Тёрстон смог дать доказательство программы для многообразий Хакена и для некоторых других частных случаев. Полное доказательство программы, с точки зрения ее создателя, так и не было построено. Хотя многие верят, основываясь на априорных суждениях и плане доказательства, представленном Тёрстоном, что Тёрстон установил самую настоящую теорему, в целом мир до сих пор ожидает подробностей. Новые рассуждения Григория Перельмана (см. разд. 10.5) могут решить этот вопрос раз и навсегда. Но прежде чем мы убедимся в этом, должно пройти некоторое время.

• В 1997 г. умер Фредерик Альмгрен, оставив после себя 1728-страничную рукопись, содержащую доказательство одной очень важной теоремы о регулярности для минимальных поверхностей. Такие поверхности служат моделью для мыльных пленок, полимеров и многих других явлений природы. Альмгрен был выдающимся математиком, пионером в своей области и профессором в Принстонском университете. Априори многие склонны верить в теорему Альмгрена. Однако переварить все 1728 страниц плотной и технической математики — задача неподъемная. Двое его учеников, Владимир Шеффер и Джин Тейлор (она к тому же жена Альмгрена) опубликовали после смерти Альмгрена его рукопись в виде книги [ALM]. Но может пройти еще много времени, прежде чем эта работа пройдет обыкновенную процедуру проверки и получит общее признание.

• Мы завершим этот раздел рассказом об одном доказательстве, которое привело к настоящей схватке. Случилось это более 50 лет назад, но чувство горечи все еще не растаяло. Два главных участника — оба видные математики. Но в этом вопросе каждый занял свою позицию, и их эмоции все еще дымятся. Вопрос здесь не в том, верно доказательство или нет, а в том, чье оно.

Как-то раз в 1948 г. Пол Эрдёш, который гостил в Институте перспективных исследований, встретился с Атле Сельбергом (1917–2007), который работал там постоянно. У Сельберга была многообещающая идея о том, как построить элементарное доказательство теоремы о простых числах (такое, которое не опирается на сложный анализ). Ему недоставало только одной леммы, чтобы завершить свое рассуждение (см. разд. 11.1).

На следующий день Пол Эрдёш смог предоставить Сельбергу нужную лемму. Позднее Сельберг смог так изменить свое доказательство, что в лемме Эрдёша уже не было нужды. К несчастью, между Сельбергом и Эрдёшем разгорелся ужасный спор о приоритете. Сделав такой серьезный вклад, Эрдёш попросту предложил Сельбергу написать совместную статью. У Сельберга, который никогда в жизни ни с кем не писал совместных статей, были совсем другие планы.

Одна версия этой истории гласит, что как-то раз Сельберг посетил другой университет. Он сидел в чьем-то кабинете и болтал с хозяином, а в это время зашел другой математик и сказал: «Я только что получил открытку, что Эрдёш и какой-то норвежский парень, о котором я никогда не слыхал, получили элементарное доказательство теоремы о простых числах». Сельберг не на шутку разозлился и решил написать о результате в одиночку.