Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Такие аргументы трудно принимать всерьез. Этакие рассуждения, хотя и общепринятые в контексте литературной теории, не несут смысловой нагрузки в науке. По-видимому, наука переживает золотой век. Проект генома открывает множество новых путей. Теория струн в действительности меняет лицо физики. Существует так много направлений в инженерном искусстве, включая биоинженерию, что нет никакой возможности их описать. Химия с ее новыми полимерами и синтетическими материалами меняет нашу жизнь ежедневно.

12.2 Останется ли «доказательство» ключевым знаком математического прогресса?

Огромное преимущество традиционного математического доказательства в том, что это окончательное средство проверки и подтверждения высказываний. Утверждение, которое доказано сегодня методами, введенными Евклидом в его «Началах», останется верным и через тысячу лет. Меняются моды, меняются ценности, меняются цели — но ничто не влияет на обоснованность математического доказательства. Новые открытия не отменяют старых, если те доказаны.

По этой причине математическое доказательство остается стандартом, к которому мы все стремимся. В то же время мы допускаем и ценим другие подходы. Математические доказательства по традиции не имеют большого веса в физике или инженерии. Эвристические рассуждения обычно не ценятся высоко на математических факультетах. Как мы уже говорили в начале книги, доказательство — это психологический инструмент, позволяющий убедить другого человека в истинности чего-либо. Если вместо «другого человека» поставить слова «математика с традиционным образованием», то скорее всего, желательное доказательство — традиционное. Логические аргументы в евклидовом стиле. Если же вместо «другого человека» окажется «специалист по современному численному анализу», то его скорее убедит длинное и очень точное компьютерное вычисление.

Заметьте, что ни один из этих двух сценариев не отменяет другого. Они служат двум разным целям; они оба пытаются привести два различных типа людей к общему знаменателю. Если приглядеться, эти сценарии дополняют друг друга.

Один из краеугольных тезисов этой книги в том, что «доказательство» — традиционная, евклидовдохновенная, бритвенно-острая цепь рассуждений, непреклонно ведущая к точному заключению — бессмертно. Его изобрели с очень специальной целью, и оно соответствует ей безупречно. Но этот способ мысли и проверки утверждений помещен теперь в новый контекст. Это очень устойчивый, поддерживающий и стимулирующий контекст, который только помогает нашим целям. Он возвышает наше понимание. Он увеличивает наш оружейный арсенал. Он делает нас сильнее.

Глава 13. На посошок

Физика дает математике много прекрасных возможностей и новых начинаний, но математике нет нужды копировать стиль экспериментальной физики. Математика опирается на доказательство, а доказательство незыблемо.

— Саундерс Маклейн

Математика стремится снизить сложность до приемлемого уровня, а также выявить структуру там, где никаких структур не видно.

— Майкл Ашбахер

Не хватает только доказательства.

— Джон Милнор

Никогда не учите свинью петь. Вы разочаруетесь, а свинья разозлится.

— Аноним

В жизни есть две хороших вещи: заниматься математикой и преподавать ее.

— Симеон Дени Пуассон

…записать очень длинное и сложное рассуждение без ошибок невозможно, так что можно ли «доказательство» называть доказательством?

— Майкл Ашбахер

13.1 Что важного в доказательствах

До эпохи доказательств, лет 2600 тому назад, математика была наукой эвристической и феноменологической. В основном (хотя и не исключительно) она отвечала практическим нуждам землемерия, торговли и подсчетов, а необходимости в теории или строгих рассуждениях, казалось, не было. Только с явлением абстрактной математики — математики самой для себя — стало ясно, почему важны доказательства. И действительно, они лежат в основе наших взглядов на науку сегодня.