Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В рассуждениях Хоргана есть слабина — он мыслит как литературный критик и рассуждает по аналогии. С тезисом Харольда Блума можно соглашаться или нет (например, из какого классического произведения вырос «Вопль» Аллена Гинзбурга? Или «Поминки по Финнегану» Джеймса Джойса?). Но нет никаких оснований применять его к современному научному прогрессу. Возьмем только один пример. Исаак Ньютон был великим мыслителем. Он создал современный научный метод, он придумал математическую физику, он (на пару с Лейбницем) изобрел анализ и разработал самый мощный набор научных аналитических методов из всех когда-либо применявшихся. Может случиться так, что гений, равный Ньютону, уже никогда не родится. Но каждое поколение научных работ опирается на плечи предыдущих гигантов. Было бы крайне сложно доказать, что теория относительности — всего лишь производная работ трехсотлетней давности. Или что квантовая теория вытекает из идей Максвелла. Или что теория струн восходит к работам Ферма.

Более того, хотя в аккуратном и быстром манипулировании данными с компьютерами никто не сравнится, они не могут думать, по крайней мере так, как люди. Программы искусственного интеллекта — это попытка научить компьютер решать задачи, с которыми справляется человек. В этом направлении имеется значительный прогресс, но они все еще довольно элементарны. Они даже не начали приближаться к мощи и глубине чего-либо подобного доказательству Уайлса Великой теоремы Ферма.

Нельзя не согласиться с Хорганом, что математические доказательства стали весьма сложными. Еще двести лет назад публикуемые математические статьи были довольно короткими, а доказательства редко занимали больше десятка страниц. Сегодня они куда изощреннее, математика стала более широким, более сложным и неприступным предприятием, и да, математические статьи занимают по 50 и более страниц, а доказательства в них чрезвычайно сложны. Но было бы заблуждением утверждать, что их не в состоянии проверить другие математики. Они делают это. Это чудовищная работа, но результат важен, и если доказательство вводит значимые новые техники, то люди потратят время на изучение и проверку работы. Доказательство Уайлса изучало много народа, так что можно быть уверенным в его корректности. Более того, некоторые части доказательства удалось упростить. Есть важные обобщения Великой теоремы Ферма, такие как гипотеза ABC, которая дает новый взгляд на всю задачу и без сомнения приведет к дальнейшему упрощению.

Математика — это процесс, вехами которого становятся решения великих задач и открытия новых потрясающих теорем. Со временем большие сложные идеи потихоньку перевариваются и перерабатываются, органически встраиваются в инфраструктуру науки. В конце концов, они упрощаются и становятся естественными и понятными. Гаусс за много лет до Бойяи и Лобачевского открыл неевклидову геометрию. Он не распространял и не публиковал своих идей, поскольку чувствовал, насколько они умозрительны; никто не понял бы их. А сейчас о них можно рассказывать старшеклассникам. Интеграл Коши, теория Галуа, интеграл Лебега, теория когомологий и многие другие идеи современной математики считались сложными и недоступными в момент открытия. А сейчас их преподают студентам.

Статья Хоргана взбаламутила математическое сообщество. Все чувствовали необходимость ответить автору, опровержение появилось в [KRA1]. В моей статье я провозглашаю те же идеи, что здесь, только гораздо подробнее. Можно сказать, что математическое сообщество проверило аргументы Хоргана и отвергло их.

Но Хорган переработал свой тезис в нечто более весомое. Он опубликовал книгу под названием «Конец науки» [HOR2]. В ней развиты многие темы из статьи в Scientific American. В этой книге автор утверждает, что настал конец научным исследованиям. Все великие идеи уже был открыты до 1900 г., а то, что мы делаем сейчас, — только симуляция, этакий способ выжимать из правительства деньги для грантов Национального научного фонда.

Это новое заявление Хоргана напоминает попытки закрыть Патентное бюро Соединенных Штатов, повторявшиеся в XIX и начале XX вв. под лозунгом, что все уже изобретено и бюро теперь не у дел. Даже в последние 35–40 лет число новых изобретений поражает: от персонального компьютера и сотового телефона до сегвея. Как и раньше, в своей книге Хорган допускает ошибку рассуждения по аналогии. Например, он размышляет о том, что вы видите, если автомобиль несется прямо на кирпичную стену. В последние секунды кажется, что стена приближается все быстрее. Точно так же, рассуждает Хорган, кажется, что научный прогресс несется вперед с экспоненциально возрастающей скоростью, поскольку он несется прямо на кирпичную стену (туда, где нет прогресса).