Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Журнал Experimental Mathematics выпускается издательством Клауса и Алисы Петерс (A K Peters). И Клаус, и Алиса получили математическую подготовку, они проникли в процесс зарождения математических идей, и этот журнал — одна из их инноваций.

1.10 Роль гипотез

Самая высокая и рафинированная форма наставничества, которую математик может предложить математическому сообществу и студентам, — доказать великую теорему. Это каждому дает пищу для размышлений, указывает на новые направления исследований и поднимает еще больше вопросов, которые поступают на общую математическую кухню. Но есть и другие способы послужить общему благу, оказать определенное влияние и изменить направление исследований. Примером такого типа деятельности служит формулирование гипотез.

Математик, который проработал в определенной области несколько лет, получает очень сильное ощущение того, насколько идеи согласуются друг с другом, какие концепции важны, какие вопросы служат направляющими принципами в данной области. Если такой математик — признанный лидер или провидец в своей области, мнения которого имеют определенный вес, если такой человек считается одним из создателей в этой области, то у него есть прерогатива высказать одну или более гипотез (которые другие математики воспримут очень серьезно).

Гипотеза — это заявление о том, что какой-то результат должен быть верным (или наоборот, ложным). Обычный способ объявить гипотезу — написать хорошую статью, в заключительной части которой сказать что-то вроде «Я думаю, что развитие этой области должно идти именно в этом направлении. По-видимому, верно следующее». А затем формально объявить результат. Это результат, который доказать пока не удается, хотя, возможно, существуют правдоподобные доводы в его пользу или доказательство частного случая, или по крайней мере какие-то соображения «за». Такая гипотеза может значительно повлиять на развитие определенной области и заставить многих хороших людей изменить направление своих исследований.

Хотя академически в субъекте математики правил немного и хотя всегда есть место для того, чтобы цвели тысячи цветов, в нашей дисциплине принято, что гипотезы выдвигают персоны с определенным весом. Если бы все вокруг принялись носиться со своими гипотезами, то субъект изучения превратился бы в хаотический водоворот, никто бы не знал, что истинно, а что ложно, все бы запутались, и прогресс бы замедлился. Так что негласно подразумевается, что не все люди выдвигают гипотезы, а только некоторые. Математик Саундерс Маклейн провозгласил этот принцип таким образом:

Гипотеза в математике существует и занимает почетное место с давних пор, но есть ясная традиция. Если математик действительно изучил предмет и продвинулся в нем, то он может сформулировать свою догадку в виде гипотезы, которая обычно принимает форму специально сформулированной теоремы…Но следующим шагом должно стать доказательство, а не дальнейшие спекуляции.

— Саундерс Маклейн

Иногда если выдающийся математик полагает, что он доказал значительный результат, а потом в доказательстве обнаруживается ошибка, то математическое сообщество может выказать свое почтение, назвав результат гипотезой, носящей имя автора. Так случилось с гипотезой Пуанкаре, мы обсудим ее позднее. Пуанкаре полагал, что доказал ее, но какое-то время спустя нашлась ошибка. Так что позднее математики — вслед за Анри Пуанкаре — склонны были верить в истинность этого результата, назвав его гипотезой Пуанкаре. Не так давно Григорию Перельману наконец-то удалось ее доказать (разд. 10.5).

Еще один пример математической гипотезы — гипотеза Римана. В своей статье [RIE] Риман ввел базовые идеи, связанные с дзета-функцией Римана. У него были соображения по расположению нулей этой функции (именно об этом идет речь в гипотезе Римана). Затем он сказал, что было бы желательно получить доказательства представленных утверждений, а в заключение отметил, что его собственные попытки доказательства оказались безуспешны. Он заявил, что не будет заниматься этими вопросами, так как они далеки от его основной цели (доказать теорему о простых числах). К сожалению, Риман умер, не успев выполнить свою миссию. 

1.10.1 Прикладная математика