Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Теперь после стольких усилий вполне можно сказать, что американское математическое сообщество приняло прикладную математику. В некоторых университетах отделения чистой математики и прикладной разделены. Чистые математики могут оставаться чистыми, а прикладные могут делать что им вздумается. Но в большинстве университетов отделение математики только одно и чистые математики сосуществуют с прикладными. В университете, где работает автор этой книги, в колледже наук и искусств только одно отделение математики, почти все, кто там подвизаются, получили классическое чисто математическое образование. Но многие имеют развитые интересы и в прикладной математике. Двое, изначально специализировавшиеся в теории групп и гармоническом анализе, сейчас изучают статистику. Они сотрудничают с членами медицинской школы и школы социальных работ. Один, тот самый, что занимался гармоническим анализом, сейчас является экспертом в вейвлет-алгоритмах для сжатия изображений и обработки сигналов. Он контактирует с инженерными фирмами и профессорами инженерных и медицинских наук. Другой (автор этой книги) сотрудничает с пластическими хирургами. Еще один работает с инженерами-химиками.

Именно такой симбиоз правительство и администрация университетов пытались установить тридцать лет назад. Это удалось. Хорошая новость — мы разрабатываем новые курсы и программы обучения, соответствующие этим изменениям. Студентам предлагают изучать не только чистую, традиционную математику, но и то, как эта математика применяется. Мы — отделения математики, студенты, правительство и администрация университетов — можем с гордостью сказать, как математика влияет на наш мир:

• математики разработали карбюраторную систему для автомобилей Вольво;

• на математической теории основан принцип работы сотового телефона;

• благодаря математике достигается американское превосходство в радарных и сканирующих технологиях;

• технология изготовления музыкальных и видео компакт-дисков основана на математике;

• именно математика составляет подоплеку теории очередей, теории кодирования, структуры и безопасности сети Интернет;

• вся теоретическая база криптографии — математика;

• математика становится публичной благодаря олимпиадам (международным математическим соревнованиям), фильмам «Умница Уилл Хантинг» и «Игры разума», телешоу «Числа» и пьесе «Доказательство».

Список вполне можно продолжить.

Можно сказать, что сегодня чистая и прикладная математики сосуществуют во взаимно полезном симбиозе. Они не просто терпят друг друга по соседству; они снабжают друг друга идеями и импульсами к развитию. Создается плодотворная рабочая атмосфера, она продолжает развиваться и расти.

Выше уже было сказано, что традиционно математик — волк-одиночка; в офисе или дома он в уединении обдумывает свои мысли и доказывает теоремы. До 1960 г. почти у всех опубликованных работ по математике был только один автор. Сейчас все иначе. В последние 15 лет подавляющее большинство математических работ было написано в сотрудничестве; математик, трудящийся в одиночку, — это, скорее, исключение. Почему так произошло?

Во-первых, симбиоз между чистым и прикладным мирами привел к тому, что люди стали больше общаться друг с другом. Автор этой книги занят в исследовательском проекте с пластическими хирургами. Они не разбираются в математике, а я не разбираюсь в пластической хирургии, так что сотрудничество просто необходимо. Мои коллеги работают с инженерами-химиками или физиками точно так же и по тем же причинам.

Нет никаких сомнений в том, что сотрудничество значительно возросло даже среди чистых математиков. Причина в том, что математика как целое стала гораздо сложнее. За последние сорок лет мы узнали о большом числе связей между различными областями математики. Поэтому у тополога все больше причин беседовать со специалистом по анализу, а у геометра — с экспертом в дифференциальных уравнениях. Следствием стал расцвет совместных работ, обогативших и углубивших нашу науку.

У математического сотрудничества есть также социологические и психологические следствия. Работа в одиночку у некоторых математиков вызывает трудности и даже депрессию. Сложные задачи иногда обескураживают и тогда легко возникает глубокое чувство изоляции, глубокой депрессии и неудачи. А хороший коллега может вернуть к жизни, приободрить и дать импульс работе. Мы как профессионалы познали ценность — профессиональную и эмоциональную — совместной работы и чувства локтя. Это хорошо для всех включенных в процесс. В книгах [KRA2] и [KRA3] обсуждается природа сотрудничества в математике.

1.11 Математическая неопределенность

В этом разделе мы углубимся еще в один аспект, в котором не были искренни до конца. Хотя во многих отношениях математика — самый надежный, безупречный и воспроизводимый набор идей среди когда-либо разработанных, в ней есть некоторые ловушки (см. [KLN]). В частности, в двадцатом столетии математике досталось пинков. Мы обсудим некоторые из них.