Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

То, что он сделал, — невероятно мощно и элегантно. Он нашел способ сопоставить натуральное число (т. е. положительное целое число) каждому утверждению заданной логической системы. Это число носит название числа Гёделя. Оказывается, в логической системе утверждения о натуральных числах — на самом деле утверждения о самих утверждениях. Поэтому Гёдель смог сформулировать утверждение U внутри логической системы, а это просто утверждение о натуральных числах, которое означает, что «U гласит, что U недоказуемо». Это представляет собой проблему. Ведь если U ложно, то его можно доказать (а этого не может быть, ведь тогда U было бы истинным). А если U истинно, то его нельзя доказать. Мы пришли к истинному утверждению, которое нельзя доказать, исходя только из самой системы. Увлекательное и доступное обсуждение идей Гёделя можно найти в книгах [SMU1], [SMU2].

Точно так же квантовая механика учит нас, что природа не вполне детерминистическая — мы не можем знать о физической системе все, даже если нам доступен полный список всех ее начальных условий — так же Гёдель учит нас, что в математике всегда будут утверждения, которые «недоказуемы» или «неразрешимы».

Идеи Гёделя пошатнули фундамент математики. Они оказали глубокое влияние на аналитическую базу нашей науки, на наши ожидания от нее. Имеются также серьезные последствия для теоретических компьютерных наук именно потому, что компьютерные специалисты хотят знать, куда приведет данный язык программирования (они, конечно же, являются системой рассуждения), и что он может дать.

Хорошая новость в том, что следствия из теоремы Гёделя о неполноте редко возникают в повседневной математике. «Утверждение Гёделя» больше комбинаторное, чем аналитическое.

Мы не встречаем такие утверждения в анализе. Но иногда они могут возникать в алгебре, теории чисел и дискретной математике[34]. В теории чисел существовали очень желательные результаты, которые многие пытались установить, но которые оказались неразрешимыми (яркий пример — решение десятой проблемы Гильберта). И конечно же, идеи Гёделя играют важную роль в математической логике. 

1.12 Публикация и распространение математики

Пять столетий тому назад ученые часто соблюдали секретность. Они стремились сохранить свои результаты и научные открытия для себя. Даже если другой коллега запрашивал какие-то определенные данные или интересовался определенной идеей, эти ученые уклонялись от ответа. Почему серьезные исследователи поступали подобным образом?

Мы должны понимать, что в те дни мир был другим. Академических постов было мало. Многие ученые занимались своими исследованиями как личным хобби. Кому-то везло — они обзаводились богатыми патронами, которые субсидировали их работу. Понятно, что в такой ситуации легко развивались подозрительность и зависть. Во времена Иоганна Кеплера (1571–1630) не было национальных научных фондов или национальных институтов здоровья. Многие известные ученые годами дожидались академической вакансии. Чтобы получить профессорский пост, требовалось решать различные вопросы с патроном, придерживаться верной политики в академических и неакадемических кругах. Даже Риман получил кафедру в Геттингене лишь незадолго до своей кончины.

Один из самых знаменитых ученых, хранивших свою работу в строгом секрете, — Исаак Ньютон. Многие считают его величайшим ученым всех времен; он произвел мириады идей, революционизировавших научную мысль. Он был вспыльчивым, импульсивным человеком, подверженным сменам настроения, друзей у него было очень мало. Как-то раз его статья, которую он представил для публикации, со стороны Роберта Гука (1635–1703) подверглась критике, которую Ньютон встретил очень плохо. После этого он довольно долго ничего не публиковал. Нежелание Ньютона публиковаться означало, что многие ключевые идеи анализа были скрыты за семью печатями. В то же самое время Готфрид Вильгельм фон Лейбниц независимо развивал идеи анализа на своем собственном языке. Лейбниц не страдал сдержанностью в вопросах публикации. И распространение идей Лейбница очень взволновало Ньютона и его последователей. Им показалось, что Лейбниц пытался улизнуть с идеями, которые были впервые созданы Ньютоном. Можно было возразить, что Ньютону следовало опубликовать свои идеи вовремя. Это сняло бы всякие сомнения о том, кто первым создал анализ.

В середине XVII века активным членом различных научных сообществ был Генри Ольденбург. В силу своих личных качеств и связей Ольденбург стал своего рода посредником среди современных ему ученых. Если он знал, что ученый A нуждался в идеях ученого B, то устраивал так, чтобы сблизиться с B и попросить его поделиться этими идеями. Обычно Ольденбургу удавалось отплатить за такую щедрость. Книги в те времена были редки и дороги, а Ольденбург обычно мог предложить научную книгу в обмен на некоторые идеи.