Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Не так знаменит Евклид (по сравнению с Архимедом и Пифагором) за свои оригинальные и глубокие прозрения, хотя некоторые важные теоремы и идеи носят его имя. Он оказал неизмеримое влияние на человеческую мысль. В конце концов, Евклид написал труд (включающий 13 книг), который дошел до нас под названием «Элементы» и к которому постоянно обращались на протяжении более 2000 лет, и который переиздавался много много раз. Его до сих пор подробно изучают, и он продолжает оказывать значительное влияние на наши представления о математике.

О жизни Евклида известно не так много, хотя можно быть уверенным, что у него была своя школа в Александрии. В то время имя Евклид было довольно обыкновенным, и в разных рассказах о математике Евклиде его путают с другими Евклидами (один из них — выдающийся философ). До наших дней дошла похвала Евклиду от Прокла, одного из последних греческих философов:

Не намного младше их [учеников Платона] Евклид, который собрал вместе «Элементы», упорядочив многие теоремы Евдокса, улучшив многие теоремы Теэтета, а также составив неопровержимые доказательства вещей, которые были не вполне доказаны его предшественниками. Этот человек жил во времена первого Птолемея; Архимед, который последовал сразу за первым Птолемеем, упоминает о Евклиде, а кроме того, говорят, что Птолемей однажды спросил его, существует ли способ выучить геометрию короче, чем его «Элементы», на что он ответил, что «в геометрии нет царского пути». Значит, он моложе окружения Платона, но старше Эратосфена и Архимеда; эти последние были современниками, как об этом где-то упоминает Эратосфен. По своим целям он был платоником, симпатизируя их философии, отчего он и включил в конце «Элементов» конструкцию так называемых платоновых тел.

Как это часто бывает с учеными, художниками и исследователями, достигшими значительных успехов, имеется несогласие и даже некоторые споры о том, кем или чем был Евклид в действительности. Существуют три версии:

• Евклид был историческим персонажем, одним человеком, который действительно написал «Элементы» и другие научные работы, которые обыкновенно ему приписывают;

• Евклид был лидером команды математиков, работавших в Александрии. Все они внесли свой вклад в создание тех трудов, которые теперь приписывают Евклиду. Они продолжали писать и распространять книги под именем Евклида даже после его смерти;

• Евклида как исторического персонажа никогда не существовало. Евклид был псевдонимом группы математиков, работавших в Александрии. Они черпали свое вдохновение от Евклида Мегарского (он-то был исторической фигурой), выдающегося философа, который жил приблизительно за сто лет до того периода, к которому принято относить жизнь Евклида.

Большинство исследователей сегодня придерживаются первой версии, что Евклид — один человек, создавший «Элементы». Но следует признать, что существуют доводы и в пользу других двух сценариев. Почти наверное у Евклида была серьезная математическая школа в Александрии, и вряд ли стоит сомневаться, что его ученики участвовали в его изысканиях.

Считается, что Евклид должен был учиться в Афинской академии Платона (430–349 до н. э.), так как в то время вряд ли могло найтись другое место, где можно было узнать о геометрии Евдокса и Теэтета, на которой основаны «Элементы».

Есть еще одна знаменитая история[40] про Евклида: один ученик его школы в Александрии пришел к Евклиду, изучив первое утверждение из геометрии «Элементов». Он хотел знать, что получит в результате напряженного учения, выполнив всю необходимую работу и выучив все теоремы геометрии. На это Евклид подозвал своего раба и сказал ему: «Дай ему три драхмы, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».

В Евклидовых «Элементах» важна созданная в них парадигма того, как математику следует изучать и записывать. Евклид начал с некоторых определений терминов и идей геометрии, а затем записал пять постулатов (или аксиом). По одной из версий постулаты выглядят так:

P1. Через любую пару различных точек проходит прямая.