Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Рассмотрим рис. 2.7. Заметим, что большой квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников и меньшего квадрата. Катеты каждого треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c, как в теореме Пифагора. С одной стороны, площадь большого квадрата равна c². С другой стороны, площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур.

 Рис. 2.7. Доказательство теоремы Пифагора

Итак, мы можем записать:

c² = (площадь большого квадрата) =   (площадь треугольника) + (площадь треугольника) +  (площадь треугольника) + (площадь треугольника) +  (площадь малого квадрата) =

Доказательство закончено. □

Согласно одной из легенд, у древних египтян обыкновенно использовался такой инструмент — веревка, на которой через 12 равных промежутков были завязаны узлы. Такая веревка предназначалась для того, чтобы отмерять треугольник со сторонами 3, 4, 5 (рис. 2.8). Так египтяне пользовались теоремой Пифагора для построения прямых углов. 

Рис. 2.8. Пифагорова веревка египтян

Пифагор заметил, что если a=1 и b=1, то c²=2; он поставил вопрос: существует ли рациональное число c, удовлетворяющее последнему равенству. Результат был поразительным.

Теорема. Не существует рационального числа c такого, что c2=2.

Пифагор утверждает, что гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами иррациональна. Это глубокое и тревожное наблюдение!

Доказательство теоремы. Предположим, что утверждение ложно. Тогда существует рациональное число , записанное в виде несократимой дроби (т. е. α  и β  — целые числа, не имеющие общих делителей) такое, что c²=2. Это можно записать еще так:

или

Видно, что в правой части стоит четное число; значит, в левой части тоже. Раз α четно, α=2m  для некоторого целого m. А тогда

 

или

Теперь четна левая часть, а значит, и β². Следовательно, четно число β. В таком случае четны оба числа α и β; у них есть общий делитель — 2. Это противоречит предположению о том, что α и β не имеют общих делителей, так что c не может быть рациональным числом. Значит, оно иррациональное. □

Апостолом было найдено и чисто геометрическое доказательство иррациональности числа , см. [BAB1, с. 73]. Пифагорейцы осознавали глубину и потенциальную социальную важность этого открытия. К тому времени в сознании греков укоренилось убеждение в том, что все числа рациональны. Провозгласить обратное было почти ересью. Какое-то время пифагорейцы хранили новое открытие в секрете. В конце концов, по крайней мере так гласит легенда, невежественными ордами мародеров пифагорейцы были уничтожены. Но их универсальные идеи живут и сейчас.

Глава 3. Средние века и акцент на вычислениях

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.

— Иммануил Кант

Ибо, как с обширными пространствами современной математики могут сравниться жалкие лоскуты, — отдельные неполные и бессвязные результаты, полученные интуиционистами?

— Давид Гильберт

Последовательность для понимания математики может быть такой:

интуиция, пробы и ошибки, размышления, гипотезы, доказательство.

Комбинация и последовательность этих событий отличаются в разных областях, но принято считать, что конечный продукт — это строгое доказательство, которое мы знаем и можем одобрить без формального совета логиков.

— Саундерс Маклейн

Действительно, каждый математик знает, что доказательство осталось «не понятым», если все, что сделано, — это пошаговая проверка правильности умозаключений, из которых оно состоит, и не предпринято никаких попыток получить ясное представление об идеях, которые привели к построению именно этой, а не иной цепочки рассуждений.

— Николя Бурбаки

3.1 Влияние ислама на математику