Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

P2. Для любого отрезка  и любого отрезка  существует единственная точка E (на прямой, определенной точками A и B ) такая, что B лежит между  A и E, а отрезок  конгруэнтен отрезку  (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Второй постулат Евклида

P3. Для любой точки C и любой точки  A, отличной от C, существует окружность с центром C и радиусом CA, (рис. 2.3,а).

P4. Все прямые углы конгруэнтны (рис. 2.3,б). 

Рис. 2.3. Окружность и прямой угол

Это стандартные аксиомы, которые выражают наше понимание евклидовой геометрии. Пятая аксиома — предмет интенсивного изучения на протяжении 2000 лет — это так называемый постулат о параллельных (мы даем его в формулировке Плейфэра):

P5. Для каждой прямой l и каждой точки P, не лежащей на l, существует единственная прямая l′, проходящая через P и такая, что  l′  параллельна l (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Постулат о параллельных

Перед тем как провозгласить знаменитые пять аксиом, Евклид определил точку, прямую, окружность и другие термины, которые он использует. Хотя Евклид спокойно делал заимствования у более ранних и современных ему математиков, считается, что постулат о параллельных, т. е. постулат P5, — его личное творение.

Однако следует отметить, что «Элементы» — не просто изложение геометрии на плоскости. На самом деле книги VII–IX посвящены теории чисел, там Евклид доказал свой знаменитый результат о том, что простых чисел бесконечно много (мы с ним еще встретимся), а также разработал знаменитый «алгоритм Евклида» деления с остатком. В книге X идет речь об иррациональных числах, а книги XI–XIII посвящены геометрии трехмерного пространства. Короче говоря, «Элементы» Евклида — исчерпывающее собрание большей части математики, известной к тому времени. Она представлена в строгой, точной, аксиоматической манере, которая задала канон — так математика записывается и изучается и в наши дни. «Элементы» Евклида замечательны ясностью, с которой формулируются и доказываются теоремы. Стандарты строгости, которые установил Евклид, стали моделью для создателей анализа почти 2000 лет спустя.

Знаменитый алгебраист Б. Л. ван дер Варден (1903–1996) описывает влияние «Элементов» Евклида следующим образом:

С момента написания и почти до настоящего времени «Элементы» оказывали непрерывное и мощное влияние на человеческую деятельность. Это был главный источник геометрического вывода, теорем и методов по крайней мере до изобретения неевклидовой геометрии в XIX в. Иногда говорят, что после Библии «Элементы» — наиболее переводимая, публикуемая и изучаемая книга западного мира.

И правда, «Элементы» Евклида выдержали более 1000 изданий. Можно усомниться в том, что Евклид был и до сих пор остается самым важным и самым влиятельным учителем геометрии всех времен. Остается лишь добавить, что до нас дошло еще несколько книг Евклида. Это «Данные» (где изучаются геометрические свойства фигур), «О делении» (где изучается деление геометрических фигур на более мелкие с заданным отношением площадей), «Оптика» (это первый греческий труд о перспективе) и «Явления» (представляет собой элементарное введение в математическую астрономию). Некоторые книги Евклида, включая «Поверхностные места», «Поризмы», «Конические сечения», «Псевдария» и «Деление канона», утеряны.

Теория чисел

Теория чисел имеет дело со свойствами целых чисел 1, 2, 3, ... Правда ли, что простых чисел бесконечно много? Как они распределены? Можно ли любое число больше 4 записать в виде суммы двух нечетных простых? Если N — большое положительное число, то сколько найдется простых чисел, которые меньше или равны N? Это серьезные, классические вопросы. На некоторые из них ответ уже получен, на другие — нет. В наши дни теория чисел играет жизненно важную роль в криптографии. Более 2000 математиков с научной степенью работают в этой области на The National Security Agency, Washington, D. C.

2.2.1 Специалист в теории чисел Евклид

Для большинства из нас евклидовы «Элементы» — геометрический труд. А на самом-то деле книги VII–IX посвящены теории чисел. Один из результатов, представленных там, выдержал проверку временем, и его доказательство в наши дни изучают все студенты-математики. Сейчас мы его обсудим.

Напомним, что простое число — это положительное целое число, у которого нет делителей, кроме единицы и самого себя. По традиции число 1 не считается простым. Так что к простым относятся числа

Все числа, которые непросты и больше 1, называются составными. Например, 126 — составное число. Действительно,