Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

История Ближнего Востока и мусульманства сложна и запутанна, в ней много белых пятен. Религия ислама зародилась в Аравии и сохраняется там до сих пор. То, что одни называют «арабской математикой», другие назвали бы «исламской» или «мусульманской» математикой. Одна из важнейших фигур, которые мы будем обсуждать, — Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Насколько известно, он родился в Багдаде около 780 г. Так что мы не очень промахнемся, если назовем его арабом, но чаще его относят к исламским математикам или персидским математикам. По-видимому, мусульманская культура была движущей силой многих прорывов средневековья. Так что мы будем придерживаться названия «исламская математика».

В начале седьмого века мусульмане образовывали небольшую гонимую секту. Но к концу того же века под предводительством Мухаммада они завоевали земли от Индии до Испании, включая Северную Африку и Южную Италию. Считается, что когда арабские завоеватели основывали новые города, они стали подвержены болезням, с которыми не сталкивались раньше, когда жили в пустыне. В те дни медициной занимались преимущественно греки и иудеи. Поощряемые калифами (так назывались лидеры исламского мира), эти доктора селились в Багдаде, Дамаске и других городах. Это пример того, как чисто социальная ситуация привела к контактам двух различных культур, что в конце концов привело к передаче математических знаний.

Около 800 г. калиф Гарун Аль-Рашид заказал перевод на арабский язык многих трудов Гиппократа, Аристотеля и Галена. Спустя долгое время в XII в. эти арабские переводы были переведены еще раз, теперь уже на латынь, чтобы сделать их доступными европейцам. Сегодня мы благодарим мусульман за сохранение великой греческой традиции в математике и естественных науках. Без их усилий многие классические труды были бы утеряны.

3.2 Развитие алгебры

3.2.1 Аль-Хорезми и основания алгебры

Принято считать, что зачатки алгебры появились у индусов. В частности, Арья-Бхата в пятом веке и Брахмагупта в шестом и седьмом веках сыграли важную роль в развитии алгебраических идей. Среди достижений этих математиков следует упомянуть суммирование первых N положительных целых чисел, а заодно их квадратов и кубов (мы будем обсуждать это в гл. 12).

Но исламская экспансия два века спустя привела к распространению этих идей в исламскую империю, и их развитию посодействовало множество новых талантов. Возможно, самым ярким и самым знаменитым исламским математиком был Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (780–850). В 830 г. этот ученый написал алгебраический текст, который стал прорывом в этой теме.

Эта книга называется «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» (переводится как «Краткая книга восполнения и противопоставления»). Именно здесь появился хорошо нам известный термин «алгебра» (от «аль-джебр»). Слово «джебр» относится к равновесию, которое сохраняется в уравнении, если к обеим его частям прибавить одно и то же число (выражение «аль-джебр» также получило значение «костоправ»)[42]; слово «мукабала» относится к сокращению равных количеств из обеих сторон уравнения.

Еще одна книга аль-Хорезми, «Искусство индийского счета» вводит систему нумерации, которую мы называем арабской: 1,2,3,4,... Современное слово «алгоритм» происходит от одного варианта произношения аль-Хорезми, и некоторые из его идей стали вкладом в это понятие.

Стоит отметить, что хорошие математические обозначения могут составить разницу между ясной идеей и запутанной. Арабы, как и их предшественники, страдали от недостатка символики. Когда они выполняли алгебраические операции и решали задачи, они все описывали словами. Ученые, изучающие тот период, любят говорить, что арабские обозначения были «риторическими», без каких бы то ни было символов. Например, обычно мы обозначаем неизвестное в алгебраическом уравнении буквой x, но арабы называли это неизвестное «нечто».

Более того, арабы обычно выполняли решения алгебраических задач используя геометрические фигуры. У них не было эффективного метода записывания решений, какими мы пользуемся сейчас. Ясно, что аль-Хорезми очень четко формулировал идеи об алгоритмах решения полиномиальных уравнений. Но у него не было обозначений, чтобы записать эти решения так, как это делаем мы. У него не было интеллектуального оборудования (формализма и языка), чтобы формулировать и доказывать теоремы.

3.3 Исследования нуля

У понятия нуля — длинная яркая история. Еще в 600 до н. э. в арифметике вавилонян был символ для обозначения нуля. Но совершенно ясно, что у них были сомнения насчет того, что же «нуль» в действительности обозначает. Разве можно использовать определенный и явный символ для ничего?

Несколько позднее древних греков занимал вопрос существования материи и сущности бытия. Понятие нуля претило грекам.