Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Это явно не простое число. Любое составное число единственным образом можно разложить в произведение простых делителей. Это утверждает основная теорема арифметики.

Евклид задался таким вопросом (в отличие от многих других результатов в «Элементах» этот, по-видимому, принадлежит самому Евклиду): конечно или бесконечно количество простых чисел? Драматический ответ Евклида — да.

Теорема.Простых чисел бесконечно много.

Чтобы доказать эту теорему, предположим обратное. Пусть простых чисел конечное количество. Обозначим их p₁, p₂,..., p_N. А теперь рассмотрим число P=(p₁•p₂ •...• p_N)+1.   Что это за число? Простое или составное? Если мы разделим его на p₁, то получим в остатке 1 (поскольку на p₁ делится произведение p₁•p₂ •...• p_N). Кроме того, если мы разделим P на p₂, в остатке опять получится 1. То же самое произойдет, если разделить P на p₃. Если бы число P  было составным, оно бы делилось нацело на какое-нибудь простое. Но мы только что показали, что это не имеет места, — мы делили P  на все известные простые числа и каждый раз получали ненулевой остаток. Остается только сделать вывод, что P  — еще одно простое число, которое, конечно же, больше любого простого числа из исходного списка. Мы пришли к противоречию. Поэтому простых чисел обязательно бесконечно много. Их должно быть бесконечно много.

Это доказательство Евклида — один из первых примеров доказательства от противного[41]. Этот важный метод формального доказательства действительно был довольно-таки противоречивым на протяжении многих лет. Мы обсудим его довольно подробно позднее.

2.3 Пифагор

Пифагор (569–500 до н. э.) — это и человек, и общество (т. е. пифагорейцы). Еще он был политическим деятелем и мистиком. Кроме всего прочего, он выделялся из современников еще и тем, что включал в свою работу женщин наравне с мужчинами. Один критик охарактеризовал его таким словами: «На одну десятую гениальности, а на девять десятых чистого вздора». По легенде, Пифагор умер в пламени своей собственной школы, которую подожгли его политические и религиозные противники. Они восстанавливали народные массы против просвещения, которое жаждал принести Пифагор.

Пифагорейское общество было по природе очень математическим, но заодно еще квазирелигиозным. Среди его заповедей (в соответствии с [RUS]) были такие:

• воздерживайся от бобов;

• не поднимай то, что упало;

• не касайся белого петуха;

• не преломляй хлебы;

• не перешагивай через поперечину;

• не мешай огонь железом;

• не откусывай от целого хлеба;

• не трогай венки;

• не сиди на мере емкостью в одну кварту;

• не ешь сердца;

• не ходи по широкому пути;

• не позволяй ласточкам вить гнездо на крыше;

• если снимаешь горшок с огня, не оставляй следа на золе, но размешай ее;

• не смотри в зеркало возле света;

• когда встаешь ото сна, сверни постель и не оставляй отпечатка тела.

Пифагорейцы создали дух страсти, который мы сразу же замечаем:

Благослови нас, божественное Число, Ты, кто рождаешь богов и людей.

и еще:

Миром правит число.

Пифагорейцев помнят за два монументальных вклада в математику. Во-первых, за признание важности и необходимости доказательств в математике: пифагорейцы считали, что математические утверждения, в особенности геометрические, должны быть установлены путем строгого доказательства. До Пифагора геометрические идеи представляли собой эмпирически выведенные правила, полученные обычно путем наблюдения и (изредка) измерения. Кроме того, Пифагор ввел в обиход представление о том, что большая область математики (такая как геометрия) может быть выведена из малого числа постулатов. Очевидно, Пифагор оказал влияние на Евклида.

Второй важный вклад Пифагора — открытие и доказательство того факта, что не все числа соизмеримы. Следует уточнить: до Пифагора греки верили с глубокой страстью, что все построено на целых числах. Дроби возникают очень конкретно: как отношения сторон треугольника с целыми длинами (и потому они соизмеримы; в наше время вместо этого употребляется термин «рациональны», рис. 2.5).

Пифагор доказал результат, который мы называем теоремой Пифагора. Она гласит, что катеты a, b и гипотенуза c прямоугольного треугольника (рис. 2.6) связаны формулой

Рис. 2.5. Дробь

Рис. 2.6. Теорема Пифагора

Возможно, что у этой теоремы имеется доказательств больше, чем у любого другого математического результата — более 50. На самом деле это одно из древнейших математических открытий. По-видимому, оно было известно в Древнем Вавилоне и Китае по крайней мере за пять столетий до Пифагора.

Как это ни удивительно, одно из доказательств теоремы Пифагора было построено американским президентом Джеймсом Гарфилдом (1831–1881). Мы же сейчас приведем одно из простейших рассуждений, ставшее классическим.

Доказательство теоремы Пифагора.