Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Для математика-теоретика приемлемая методология — это доказательство. Математик открывает новые идеи или теории, находит способ их сформулировать, а затем должен проверить их. Механизм, который позволяет это сделать, — доказательство в классическом понимании. В следующих главах мы изучим, как возникло понятие доказательства, как оно развивалось, как стало общепринятой методологией предмета и как менялось со временем.

Глава 2. Античность

Предпочтет договориться, поступиться чем-нибудь.

И лишь изредка, отбросив все сомненья заодно,
Действием поставит точку там, где следует оно.

— Редьярд Киплинг

Для могущественных чар

Нам дадут густой навар.
Жарко, жарко, пламя ярко!
Хороша в котле заварка!

— У. Шекспир, «Макбет»

…Вы возражаете по самому малейшему поводу, отчего я сам себе кажусь глупым животным. Так что мне придется поступить так, как в свое время Сфинкс…

— Огастес де Морган

Мы обычно думаем, что все истинное истинно по каким-то причинам. Я обнаружил математические истины, верные без всяких на то причин. Эти математические истины не подвластны математическим рассуждениям, поскольку они случайны и хаотичны.

— Грегори Хайтин

Я хотел бы задать тот же вопрос, что и Декарт. Вы предлагаете логической правильности дать строгое определение интуитивному ее восприятию. Но как вы собираетесь показать, что получается одно и то же? …Среднему математику нельзя забывать о том, что высшая инстанция — это интуиция.

— Баркли Россер 

2.1 Евдокс и концепция теоремы

По-видимому, первое в истории письменное математическое доказательство, дошедшее до нас, принадлежит вавилонянам. Похоже, что теорема Пифагора (ниже мы обсудим ее подробно) была им, как и китайцам, известна задолго до самого Пифагора[35]. У вавилонян были рисунки, указывающие на то, почему теорема Пифагора верна; были также найдены таблички, подтверждающие этот факт[36]. Ими были разработаны методы, позволяющие вычислять пифагоровы тройки, т. е. тройки целых чисел a, b, c, удовлетворяющих условию

которое появляется в теореме Пифагора.

Рис. 2.1. Табличка Плимптон 322

Вавилоняне значительно продвинулись в различных областях математики. Еще в 1200 до н. э. они вычислили значение с точностью (как мы теперь говорим) до шести знаков после запятой[37]. Они не «доказывали» теорем в том смысле, который мы вкладываем в это слово сегодня, но у них имелись значительно развитые математические (а не только арифметические) идеи.

Великую традицию организации математики в теоремы[38] начал греческий мыслитель Евдокс (408–355 до н. э.). Евдокс был одним из первых, кто начал использовать это слово в математике. Хотя Евдокс многого достиг в строгости и точности своих математических формулировок, он ничего не доказывал. Формальное доказательство еще не стало традицией в математике. Как мы уже замечали, в те далекие дни математика была по большей части эвристической и эмпирической областью знания. Никому и никогда не приходило в голову, что что-то нужно доказывать. Если вы задаетесь вопросом, войдет ли некоторый стол в вашу столовую[39], вам нет нужды доказывать теорему: вы просто проверяете. Если вам интересно, хватит ли длины изгороди для вашего пастбища, вы не ищете строгих доводов; вы просто устанавливаете изгородь и выясняете, достигнута ли цель. В те далекие дни математики тесно работали с задачами такого типа. Поэтому математическое мышление было почти неотделимо от практического. Именно так его приверженцы смотрели на математические факты. Они были просто практической информацией, а их принятие и проверка — строго прагматичным делом.

2.2 Геометр Евклид

Евклид (325–265 до н. э.) считается первым ученым, который систематически организовал математику (точнее, существенную часть той математики, которая появилась до него), сформулировал определения и аксиомы, а также доказывал теоремы. Это был монументальный и совершенно оригинальный труд.