Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Уже после смерти Фреге Лесневский доказал, что обновленная система аксиом, вышедшая из печати, несовместна. Тем не менее Фреге считается одной из самых важных фигур в основаниях математики. Он был одним из первых на пути формализации правил, по которым живет математика, и в этом смысле он был настоящим пионером. Многие соглашаются, что его более ранняя работа «Begriffsschrift und andere Aufsätze» [FRE1] — самая важная из когда-либо написанных работ по логике. Она закладывает фундамент современной логики. Пол Коэн, один из самых выдающихся логиков двадцатого века, так описывает вклад Фреге:

После публикации эпической работы Фреге «Begriffsschrift» в 1879 г. понятие формальной системы получило ясную форму. Важная работа такого рода была проделана Булем и Пирсом, позднее Пеано продемонстрировал подобный подход, но только с работой Фреге, впервые в истории человеческой мысли, понятие логического вывода получило полную точную формулировку. Работа Фреге включает не только описание языка (теперь мы можем называть его «машинным языком»), но и описание правил работы на этом языке; сейчас мы называем его исчислением предикатов… Но это была веха на пути. Впервые стало можно точно говорить о доказательствах и аксиоматических системах. Работа широко воспроизводилась другими авторами, например Расселом и Уайтхедом, которые дали свои формулировки обозначения, и даже Гильбертом были сделаны попытки переформулировать основные понятия формальной системы.

В более новой (1995 г.) статье Булоса [BOO] были предприняты значительные усилия по спасению большей части оригинальной программы Фреге, изложенной в двухтомнике [FRE2]. У нас был почти век, чтобы поразмышлять над парадоксом Расселла, мы понимаем, что он учит нас тому, что нельзя позволять множествам быть слишком большими. Множество S, описанное в парадоксе Расселла, непозволительно велико. В строгом построении теории множеств существуют очень специфические правила, которые определяют, какие множества можно рассматривать, а какие нельзя. В частности, современная теория множеств не разрешает рассматривать множества, которые являются элементом себя. В детали мы не будем здесь углубляться.

Теория множеств

Теория множеств имеет дело с наборами объектов. Такой набор называется множеством, а объекты, которые в него входят, — элементами этого множества. Разумеется, математика имеет дело с множествами различных размеров и видов. Бывают множества точек, множества чисел, множества треугольников и многих других вещей. Особый интерес представляют очень большие множества — множества, в которых бесконечно много элементов.

Оказалось, что парадокс Расселла — только верхушка айсберга. Никто и не догадывался, чему через тридцать лет научит нас Курт Гёдель (1906–1978).

Говоря неформально, Гёдель показал нам, что в любой достаточно сложной логической системе (т. е. сложной по крайней мере как арифметика) найдется разумное верное утверждение, которое нельзя доказать, исходя из самой этой системы[32]. В этом состоит теорема Гёделя о неполноте. Она появилась как неразорвавшаяся бомба и полностью изменила наше представление о том, чем мы занимаемся[33]. Надо подчеркнуть, что утверждение, к которому пришел Гёдель, нельзя назвать совсем недоказуемым. Если оставить специфическую логическую систему и вместо этого перейти к более широкой и мощной, то можно предложить доказательство утверждения Гёделя.