Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В физике открывать больше нечего. Все, что нам осталось, — все более и более точные измерения.

— Лорд Кельвин

В настоящее время очевидно, что концепция общепризнанного, неопровержимого свода логических рассуждений — величественная математика 1800-х гг. и предмет гордости человечества — это грандиозная иллюзия. Неопределенность и сомнения относительно будущего математики пришли на смену уверенности и беспечности прошлого. Разногласия об основах «самой определенной» науки одновременно поражают и, мягко говоря, вводят в замешательство. Нынешнее состояние математики — это насмешка над глубоко укоренившимися и широко известными истинами и логическим совершенством математики.

— Морис Клайн

Хорошее доказательство то, которое делает нас умнее.

— Юрий Манин 

4.1 Эйлер и глубина интуиции

Леонард Эйлер (1707–1783) — один из величайших в мире математиков. А также один из самых плодотворных. Собрание его сочинений занимает более 70 томов, их изучают до сих пор. Эйлер работал во всех областях математики, а также механики, физики и других естественных наук. Математикой он занимался почти без усилий, иногда между другими делами, качая на коленке внука. К концу жизни он отчасти потерял зрение, но заявил, что это позволяет ему концентрироваться эффективнее; и действительно, его научная производительность даже возросла.

Эйлер демонстрировал замечательное сочетание математической строгости и математической интуиции. У него были глубочайшие в истории математики прозрения и самые грубые промахи. Один из них — вычисление бесконечной суммы

Чтобы проанализировать эту сумму, нужно правильно складывать первые несколько членов и смотреть, нет ли какой закономерности. Примерно так:

и так далее. Эти суммы начальных слагаемых называются частичными суммами. Если частичные суммы образуют какую-то закономерность и стремятся к некоторому пределу, то говорят, что исходная сумма (или ряд) сходится. В противном случае, он расходится. Мы видим, что частичные суммы для этого конкретного ряда поочередно принимают значения 0 и 1. Они не стремятся ни какому пределу. Так что ряд расходится.

Но Эйлер (и никто другой в его время) не знал, как правильно исследовать ряды. Он рассуждал так:

Если сгруппировать члены ряда в виде

то сумма, очевидно, равна 0+0+0+...=0. Но если группировку провести иначе:

то сумма, очевидно, равна 1+0+0+0+0...=1. Эйлер заключил, что в этой ситуации имеет место парадокс[46].

Сегодня Эйлера помнят за глубокий вклад в теорию чисел, геометрию, вариационное исчисление, комплексный анализ и дюжину других областей математики и физики. Все его промахи забыты. Именно его решимость рисковать и ошибаться сделала его столь эффективным математиком.

И над этими словами стоит подумать. Математик по природе — исследователь, и обыкновенно исследователь, который не представляет, что ему искать. Часть повседневной жизни математика — ошибаться, тратить дни на вычисления, не приводящие ни к какому выводу, идти по пути, который, как потом выясняется, не ведет никуда. Но если продолжать анализировать и критически мыслить и безжалостно взирать на все эти попытки, то, возможно, удастся сделать разумный вывод. В конце концов, можно сформулировать теорему. А затем, проделав еще раз большую работу, эту теорему можно доказать. Это фантастическое приключение, в нем бывают свои западни, тупики и ловушки. Это и есть жизнь математика.

4.2 Дирихле и эвристический базис строгого доказательства

Петер Густав Лежен Дирихле (1805–1859) — один из величайших специалистов в теории чисел XIX в. Его отца звали Лежен, это имя происходит от прозвища «Le jeune de Richelet», по-русски — «молодой человек из Ришле». Семья Дирихле — выходцы из бельгийского города Льежа. Отец был почтмейстером в Дюрене, в этом городе и родился Питер. Страсть к математике он проявил еще в очень молодом возрасте; на книги по математике он тратил свои карманные деньги. В 12 лет он поступил в гимназию в Бонне[47], зарекомендовал себя примерным учеником, выказав в равной мере интерес к истории и математике.