Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Ключевая идея в теории чисел состоит в том, что иррациональные и трансцендентные числа могут быть охарактеризованы скоростью, с которой их можно аппроксимировать рациональными числами. Весь этот круг идей рождается теоремой Дирихле, а она, в свою очередь, основана на очень простом и вместе с тем очень глубоком принципе Дирихле.

4.3 Золотая пора девятнадцатого столетия

Европа XIX в. — настоящий рай для блестящей математики. Много важных идей современной математики выросли из концепций того времени. Перечислим хотя бы несколько:

• Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) развил основополагающие идеи в области рядов Фурье и построил первую формулу разложения произвольной функции в тригонометрический ряд. Кроме того, он развил приложения для теории тепла;

• Эварист Галуа (1812–1832) и Огюстен Луи Коши заложили основания абстрактной алгебры, изобретя теорию групп;

• Бернхард Риман (1826–1866) создал предмет дифференциальной геометрии, определил вид интеграла, которым мы пользуемся сегодня, и сделал глубокий вклад в теорию комплексного переменного и анализ Фурье;

• Огюстен Луи Коши заложил основы действительного анализа, теории комплексного переменного и дифференциальных уравнений в частных производных. Он также стоял у истоков геометрического анализа;

• Карл Якоби (1804–1851), Эрнст Куммер (1810–1893), Нильс Хенрик Абель (1802–1829) и многие другие математики из разных стран развили теорию чисел;

• Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), Коши и другие заложили фундамент вариационного исчисления, классической механики, теоремы о неявной функции и многих других важных идей современного геометрического анализа;

• Карл Вейерштрасс (1815–1897) заложил основания строгого анализа, приведя большое число примеров и теорем. Его вклад в действительный и комплексный анализ неоценим.

Этот список можно значительно расширить. Девятнадцатый век — золотое время европейской математики, и общение в среде математиков было как никогда высоко. Выпускались несколько знаменитых математических журналов, важные труды широко распространялись. Большинство университетов в Италии, Франции, Германии и Англии (английские направлялись еще и физиками) имели серьезные математические программы, по которым обучалось много студентов. В это время закладывались основания современной математики.

В это время были посеяны семена строгости в рассуждениях. Язык, терминология и обозначения еще не стали вполне универсальными, определения не были вполне проработаны, и даже методы доказательства еще только развивались. Но основы методологии уже были заложены, и математика того времени перемещалась из страны в страну, в двадцатое столетие и дальше. Ниже мы увидим, как Бурбаки и Гильберт задали тон строгости в математике XX в. Но этим пионерам проложила путь работа гениев XIX в.

Глава 5. Гильберт и двадцатый век

Ни в одном вероисповедании нет такого злоупотребления метафизическими выражениями, как в математике.

— Людвиг Витгенштейн

Математика необязательно характеризуется строгими доказательствами. Много примеров эвристических статей, написанных видными математиками, приведены в [JAQ], есть и много других работ этого рода. И везде речь идет о математических объектах, имеющих строгое определение.

— Альберт Шварц

Самый мучительный вопрос … как передать озарение. В отличие от большинства экспериментальных наук в математике не разработан словарь для передачи сконцентрированных данных и озарений. Как и в большинстве физических экспериментов, количество необработанных данных, полученных в результате эксперимента математического, будет слишком велико, чтобы их осознать. Собранные данные следует сжать и сгруппировать.

— Дж. Борвейн, П. Борвейн, Р. Гиргенсон, С. Парнс

Мы доказываем при помощи логики, но делаем открытия благодаря интуиции.

— Анри Пуанкаре 

5.1 Давид Гильберт