Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В 1845 г. Дирихле вернулся к своим обязанностям в Берлинском университете и в Военном колледже. Работа в двух учреждениях по-прежнему доставляла ему много хлопот, о чем он жаловался своему ученику Кронекеру. Так что, когда в 1855 г. умер Гаусс и Дирихле предложили наследовать почетную кафедру в университете Геттингена, это стало настоящим облегчением.

Дирихле попытался воспользоваться новым предложением как способом получить лучшие условия в Берлине, но это не сложилось, и он переехал в Геттинген. Там он наслаждался спокойной жизнью и обществом нескольких выдающихся учеников. К несчастью, эти новые благословенные условия радовали его недолго. В 1858 г. Дирихле не пережил инфаркта, а вскоре от удара скончалась и его жена.

Вклад Дирихле в математику монументален. Мы уже рассказали о его работе над Великой теоремой Ферма. Кроме того, Дирихле приложил руку к изучению гауссова квадратичного закона взаимности. Можно сказать, что Дирихле был отцом аналитической теории чисел. В частности, он доказал первые результаты о простых числах в арифметической прогрессии[50].

У Дирихле была мощная интуиция, которая решительно направляла его мысли, когда он занимался математикой. Однако строгость его работ была широко признана. Сам Карл Якоби (1804–1851) как-то сказал:

Если Гаусс утверждает, что доказал какой-то факт, мне кажется это вполне вероятным. Если такое утверждает Коши, то это может быть правдой, а может и не быть, но если это говорит Дирихле, так оно и есть.

Дирихле продвинулся в области, которая позднее стала называться (с легкой руки Эмми Нетер) теорией идеалов. Он придумал ряды Дирихле; сегодня они являются мощным средством специалистов по аналитической теории чисел. А еще он сделал вклад в основания теории полей классов (позднее ее развил Эмиль Артин).

Мы помним Дирихле за одно из первых строгих определений понятия функции. Кроме того, он был одним из первых, кто строго сформулировал, по крайней мере для рядов Фурье, как следует понимать выражение «ряд сходится» (несколько раньше этим вопросом занимался Коши). Мы помним его и как одного из создателей теории рядов Фурье.

У Дирихле было несколько учеников, оставивших след в истории математики, включая Кронекера и Римана. Риман продолжил дело учителя, совершив определяющие достижения в теории комплексного переменного, рядах Фурье и геометрии.

4.2.1 Принцип Дирихле

В наши дни комбинаторика, теория чисел и конечная математика относятся к увлекательнейшим дисциплинам. Криптография, теория кодирования, теория очередей и математические основы программирования — все они опираются на технику подсчетов. Но сама идея «подсчета» как науки сравнительно нова.

Дирихле был одним из величайших творцов теории чисел. Многие теоремы и идеи в этой области носят его имя. Но на самом деле он терпеть не мог тратить время на поиски строгих доказательств своих новых открытий. Обычно он руководствовался изощренной интуицией и глубоким проникновением в глубины основных идей. Строгие доказательства полученных результатов он оставлял коллегам и будущим поколениям.

Дирихле был одним из первых мастеров в теории подсчетов. Особенно знаменит один из его важнейших принципов подсчета, изначально известный под названием «Dirichletscher Schubfachschluss» или «Dirichletscher Schubfachprincip» (Принцип ящиков Дирихле, или просто принцип Дирихле). У этой необыкновенно простой идеи есть глубокие следствия. Само утверждение заключается в следующем:

Если разложить n+1 писем в n почтовых ящиков, то в каком-то из ящиков окажется по меньшей мере два письма.

Это совсем простая идея (хотя ее можно математически строго доказать, см. гл. 12). Согласно ей, например, можно положить 101 письмо в 100 ящиков, и тогда в каком-то из ящиков окажется по меньшей мере два письма. Утверждение хорошо согласуется с интуицией. Этот принцип оказывается весьма продуктивным математическим методом. Например, если в одной комнате собираются 13 человек, хотя бы у двух из них дни рождения приходятся на один месяц. Почему? Представьте себе, что месяцы — это ящики, а дни рождения — письма.

Дирихле применял свой принцип, чтобы доказывать глубокие и значительные факты из теории чисел. Вот один важный результат, носящий его имя и очень часто цитируемый и по сей день:

Теорема.Пусть ξ — действительное число. Если n>0 — целое, то существуют целые p и q такие, что  и