Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Как Анри Пуанкаре (1854–1912) во Франции, так Давид Гильберт (1862–1943) в Германии был глашатаем математики начала XX в. Считается, что Гильберт был одним из последних математиков, кто имел представление о всем предмете — от дифференциальных уравнений до анализа, от геометрии до алгебры и логики. Он оказал значительное влияние на все области математики и написал основополагающие тексты во многих из них. У Гильберта было значительное и глубокое провидение строгого построения математики (того, что позднее возникло в работах Бертрана Расселла, Курта Гёделя и других), и он задал тон манере, в которой математика практикуется и записывается в наше время.

Абстрактная алгебра

В этой книге мы уже встречались с понятием «группа». Это одна из многих структур абстрактной алгебры, которая описывает определенные отношения между объектами. Кольцо — это набор объектов, над которыми заданы две операции, обычно это умножение и сложение. Бывают кольца чисел, кольца матриц, кольца операторов в гильбертовом пространстве и многие другие. Поле — это кольцо, в котором определено деление. Абстрактные алгебраисты изучают эти различные алгебраические структуры и отношения между ними. В наше время у абстрактной алгебры существуют приложения в различных областях математики, физики и инженерных наук.

У Гильберта было много знаменитых учеников, назовем лишь некоторых: Рихард Курант (1888–1972), Теодор фон Карман (1881–1963) (отец современной аэронавтики), Гуго Штейнгауз (1887–1972), Герман Вейль (1885–1955). Его влияние чувствовалось повсюду, не только в Германии, но и везде в мире. Именно благодаря его усилиям Геттинген стал одним из мировых математических центров, его значение сохраняется до сих пор.

Одним из прорывов Гильберта стало изучение алгебраических инвариантов. В качестве простого примера рассмотрим квадратный трехчлен

Одним из самых базовых инвариантов такого трехчлена является дискриминант

Если переменную x подвергнуть линейному преобразованию, то с точностью до коэффициента масштаба дискриминант не изменится. Было бы неплохо классифицировать все алгебраические инварианты.

В конце XIX в. было затрачено много усилий на то, чтобы явно выписать все инварианты различных типов. Многие математики посвящали этому всю свою карьеру. Но был и другой подход — попытаться записать базис инвариантов[51]. Гильберт решил задачу неконструктивно, проведя доказательство от противного. В то время этот результат казался весьма противоречивым, несмотря даже на то, что доказательство от противного было принято многими математиками, начиная с Евклида. Работа Гильберта оставила многих математиков без дела и позиционировала его как силу, которой надо сопротивляться. Его идеи создали объект изучения абстрактной алгебры. Сегодня мы помним Гильберта за многие новации в математике, одна из которых теорема о нулях — один из ключевых алгебраических методов, развитых им для изучения инвариантов.

5.2 Биркгофф, Винер и развитие американской математики

В конце XIX в. и начале XX в. у американской математики было что-то вроде комплекса. В США проводилось не так много настоящих (абстрактных и строгих) математических исследований, и значительные европейские математики — лидеры в своей области — свысока смотрели на жалкие усилия американцев. Нам всем приходится расти на той грядке, где нас посадили, и американская интеллектуальная жизнь была продуктом своих условий. Тогда, как и сейчас, Америка была знаменита практичным, эмпиричным, брутальным даже подходом, готовностью воспринимать все новое — что бы это ни было. Америка гордится своим обществом «без барьеров», в котором высока социальная мобильность и мало, если они вообще имеются, препятствий прогрессу. Интеллектуальная жизнь в Соединенных Штатах отражала эти ценности. Университетское образование было конкретным и практическим, основанным на частных задачах, пришедших из инженерных наук или потребностей общества.

Ярким образчиком ученого в такой ситуации может быть Уильям Шовене (1820–1870) — один из интеллектуальных лидеров в американской математике XIX в. Он был одним из основателей Морской академии США в Аннаполисе, а затем перебрался в университет Вашингтона в Сент-Луисе (родной город автора этой книги). В те дни в большинстве американских университетов не было отделений математики. Как правило, математикой занимались на отделениях астрономии. Это складывалось само собой, из практических потребностей, поскольку в астрономии требовалось много вычислений и математических ухищрений. Шовене однако убедил администрацию университета Вашингтона учредить особое математическое отделение и стал первым его деканом. Затем Шовене стал ректором университета Вашингтона и играл решающую роль в процессе становления этого учреждения.