Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

«Къ двумъ единъ то есть три,
Два же къ тремъ пять смотри,
Такъ и все назирай Таблицу разбирай.
Хотяй же не лгати
Похвально слагати,
Да тщится познати,
Изустно сказати».

Въ нашихъ ныншнихъ учебникахъ ариметики таблица сложенія начинается съ 1+1 и кончается 9+9. Но прежде было иначе. Напр., въ ариметик Леонардо Фибонначи (1200 г.), первомъ европейскомъ учебник, составленномъ по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единицъ, но и цлую таблицу десятковъ отъ 10+10 до 90+90. Здсь, конечно, видна непослдовательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и вс остальные разряды. Въ противоположность такой большой таблиц, русскіе учебники XVII в. даютъ таблицу маленькую, которая кончается всего на всего суммой 11, а до 18-ти не доходитъ Заглавіе этой таблицы такое: «Граница изустная счетная къ разуму хотящему разумти благая и полезная». Подобныхъ высокопарныхъ выраженій цлая тьма въ старинныхъ ариметическихъ пособіяхъ.

Сложеніе большихъ чиселъ, особенно же многозначныхъ чиселъ издавна производилось гораздо чаще на счетныхъ приборахъ, чмъ письменно. Разныя наглядныя пособія для счета и придумывались, главнымъ образомъ, для того, чтобы помочь сложенію. У китайцевъ— сванъ-панъ, у грековъ и римлянъ—абакъ, у насъ, русскихъ, торговые счеты, да, кром того, еще нсколько видоизмненій этихъ приборовъ—все это служило цлямъ отысканія суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборахъ очень укоренилась въ простомъ народ во всхъ почти странахъ и при томъ настолько сильно, что, напримръ, римскій абакъ употреблялся для сложенія въ Западной Европ столтія 3–4 спустя посл введенія индусской системы.

Способомъ, переходнымъ отъ абака къ нашему настоящему, является такой. Положимъ, даны намъ два числа: 666 и 144; подписавши 144 подъ 666 и опредливъ сумму единицъ 10, мы стираемъ 6 у верхняго слагаемаго и пишемъ вмсто него 0, а такъ какъ сумма единицъ дала десятокъ, то и цифру десятковъ 6 стираемъ и пишемъ 7, теперь слагаемыя измнились: 670 и 144; десятковъ въ сумм получитея 11, слдовательно стираемъ 7 и замняемъ черезъ 1 и также вмсто 6-ти сотенъ пишемъ 7; теперь намъ остается тодь-ко сложить 7 сотенъ съ 1, будетъ 8; эта цифра пишется вмсто 7 сотенъ, и весь отвтъ получается на мст перваго слагаемаго въ вид 810. Пять разъ намъ приходилось стирать, прежде чмъ добраться до врнаго отвта. Несомннно, такимъ путемъ трудно дйствовать на бумаг, но онъ былъ умстенъ на абак, покрытомъ пескомъ; еще можно попытаться на грифельной доск, но эти по-стояннныя стиранія надодаютъ; почему же они примнялись и на бумаг? вдь отъ нихъ нтъ никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обученія стремилась обратить человка въ машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отмчать на абак, но никакъ не удерживать въ ум. Мы теперь запоминаемъ десятки или сотни, получившіяся отъ единицъ или десятковъ, а тогда вс мелочи необходимо было писать, чтобы не утерять.

Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства средневковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ длать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; дале ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Примръ:

  1 1 1 1

5 3 7 3 9

2 8 2 6 5

—————————

7 1 9 9 4

  8 2 0 0

Вотъ каково недовріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.

Въ этомъ род, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ариметик въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ замчать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель нмецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи вс числа, которыя стоятъ на первомъ мст; если получится отъ сложенія дв цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ ум, съ тмъ, чтобы прибавить ее къ слдующей; такъ же поступай и со всми остальными. 3-е правило: Въ конц ничего не надо держать въ ум, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», напримръ, три да четыре—семь.