Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

18. Арабъ Альнасави (XI в.) училъ умножать еще боле чуждымъ для насъ пріемомъ. Онъ тоже не допускалъ устнаго счета и тоже подписывалъ вс цифры сполна, но сверхъ того и въ сложеніи у него было отличіе, потому что отдльные разряды складывались не въ конц всего дйствія, а постепенно, по мр того, какъ они получались.

Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается слва. 4x9 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ налво; 5x9=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это длали въ способ треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры помщаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе дале: 6x9-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее мсто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно тмъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда вс умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отвтъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбц. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ слдующую высшую строчку. Цль перемщенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ тмъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.

Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случа, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это длаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ измнилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на песк и сейчасъ же стирали т цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-мняли новой; такъ что, дйствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, тмъ боле, что ихъ работ много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а примнять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумаг, гд цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себ, но надо еще примнить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.

19. Во всхъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ дйствія все время остается тотъ же, везд дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отдльные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но нтъ ничего легче примнить другой порядокъ: не цлое множимое умножать на отдльные разряды множителя, а отдльные разряды множимаго на цлаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).

Отвтъ у него помщается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать т, когда умноженіе замняется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существ дла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблиц и вслдствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-примръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ послдовательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ здсь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ извстно, что 9 x 2 = 18, а слдовательно 90 x 2 = 180, да 9 x 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы замнили набираніе 27 слагаемыхъ боле простыми дйствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ариметика такой простой и легкій путь, чтобы замнять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счет и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ вковъ оно вполн вступило въ свои права.

Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и замняло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда дйствіе располагается слдующимъ образомъ:

С · Х = М

С · Х = М

С · Х = М

ХХХХ · XXX = МСС

XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.