Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отвты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отдльныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ примняли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Примръ: 44x26. Для этого 26 разлагаемъ на какія-нибудь легкія cлагаемыя, обыкновенно однозначныя, въ род 3 + 4 + 5 + 6 + 8, и составляемъ пять произведеній: 44 · 3, 44 · 4, 44 · 5, 44 · 6, 44 · 8. Вс ихъ можно легко найти устно, и въ этомъ заключается преимущество подобнаго умноженія. Но иногда, забывая о главномъ условіи удобства, примняли этотъ способъ и тогда, когда онъ не даетъ никакого выигрыша ни во времени, ни въ письм. Хорошимъ примромъ такого теоретическаго пользованія разложеніемъ можетъ служить помщенный въ аріметик Брамегупты (VII в.): 235x288, съ разложеніемъ числа 288 на 9 + 8 + 151 + 120. Очевидно Брамегупта, выбирая такія неудобныя слагаемыя, не только не упростилъ діствія, а скоре усложнилъ и затруднилъ; но онъ, наврное, и не задавался цлью упростить и облегчить вычисленіе, а желалъ только представить новую форму умноженія.

22. Какъ мы уже сказали, замна умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много столтій до Р. X. умли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой замной. Если, напримръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отвтъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, напримръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, затмъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне умли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно врно и успшно. Изъ всхъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выдлить удвоеніе въ особое дйствіе, къ мысли, которая примнялась очень долго и едва въ ХУІ столтіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.

Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дале въ глубь вковъ, тмъ боле, что у насъ нтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затмъ, благодаря практик, начинаетъ выдляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц умноженія и выдлили окончательно дйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дйствія, сначала въ грубой и несовершенной форм, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измненіями цифръ; сложеніе отдльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмст съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум ничего не удерживалось: такъ, по крайней мр, было въ Западной Европ въ средніе вка. Ближе къ нашему времени стали примнять и устный счетъ, начали помогать письму тмъ, что нкоторыя цифры удерживали въ ум, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.