Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Трудно дленіе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизмримо, безконечно трудне было оно въ старинныя времена и особенно въ начал среднихъ вковъ. Тогда изъ столкновенія римской и арабской учености не успло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кром того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ дтей и требовалъ отъ нихъ нечеловческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать дленіе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ род нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ дтямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ дйствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неумнье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное поврье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней успвать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. Смшно теперь слышать, что средневковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и дленія: вдь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школ и всякая двочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Он, конечно, нужны, но лишь въ такой мр, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неуспха слдуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначал, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вмсто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и дло пропало, при томъ пропало боле, чмъ въ какомъ бы то ни было другомъ предмет, потому что въ математик все послдующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ дленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе дленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего замтимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его боле всего. Первые намеки на него мы можемъ видть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ боле ясной форм онъ встрчается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ нмецкой литератур можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотек и принадлежащую къ XII вку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности здсь идетъ вычисленіе на абак. Примръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.

Порядокъ дйствія, какъ видимъ, такой: подписавши длителя и его высшій разрядъ, помщаемъ подъ нимъ длимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ длител кром 20000 есть еще другіе разряды, слд. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 2x4 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ посл высшаго разряда длителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; дале множимъ на частное десятки длителя, ихъ всего 2, 2x4=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 замнить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 3x4 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего посл дленія ииемъ въ остатк 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ примр мы наблюдаемъ ходъ дйствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что мста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены длимое, длитель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Слдующій разъ мы встрчаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежутк между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII вка, вдь, очевидно, и тогда было дленіе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совсмъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX вка и въ начал его исчез, о немъ рчь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего дленія, который встрчается у Луки де-Бурго, итальянца. Раздлить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только длитель и частное пишется вверху; а не сбоку.

3) Въ знаменитомъ труд по ариметик, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встрчается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).