Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.

24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является слдующій. Множитель замняется новымъ числомъ, которое болыпе его въ нсколько разъ или на нсколько единицъ, и притомъ гораздо удобне для дйствія, чмъ самъ данный множитель. Напримръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вмсто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число раздлимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имютъ такого большого примненія на практик, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.

25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, чмъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опредляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ дйствія. Въ способ «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу вс, какіе только могутъ оказаться, чтобы затмъ къ десяткамъ боле не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки вс, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ послдовательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.

Возьмемъ примръ сперва двузначный: 56x97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6x7 = 42, слд. простыхъ единицъ въ отвт будетъ дв, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Ршаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кром того, нсколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случа сотни и тысячи дадутъ по крайней мр сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5x7 — 35, 9x6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока замтимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ примр он могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отвт и получаемъ: 56x97 = 5432. «Крестикъ» мы здсь примняли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случа мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все дйствіе можно изобразить такой фигурой:

5 6

X

9 7

————

5432

Чтобы читателю былъ ясне виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи примръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, слдовательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііредляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли порже и между ними были свободные промежутки, э зачмъ,—это будетъ понятно дале.