Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Такимъ образомъ и въ древнемъ мір идея непрерывныхъ дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на томъ, что числитель можетъ быть не только цлое число, но и смшанное.

Греческій математикъ Архимедъ примнялъ непрерывныя дроби къ извлеченію квадратныхъ корней и выражалъ этими дробями приближенныя величины корней. Арабскій ученый Алькальцади (въ XV в. по Р. X.) даетъ нкоторые намеки на восходящія непрерывныя дроби; онъ примняетъ ихъ къ дленію съ остаткомъ и обозначаетъ ими дробное частное. Напр., требуется раздлить 253 на 280, и такъ какъ 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва длимъ 253 на 8, будетъ 31 5/8 , потомъ полученное длимъ на 7, будетъ

и, наконецъ, длимъ на 5, будетъ

а это, обыкновенно, прдставляется такъ:

и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:

или, если написать ее ясне, то

вычислить ее можно такъ:

Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ вид непрерывной дроби величину /4 = 0, 78539316... ( показываетъ отношеніе длины окружности къ длин ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, нмецкій ученый 18 в.

Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.

Не только въ одной ариметик, но и почти во всхъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изслдованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то замняется другимъ. Ариметика не мало за свою многовковую жизнь потерпла измненій. Началась она съ вычисленій надъ цлыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, затмъ рядъ другихъ отдловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отдльности.