Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и раздляются на три вида, иже суть: ариметическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ нсть треба намъ глаголати. Въ ариметическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».

И т. дале.

 Въ иныхъ старинныхъ ариметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.

Примры на правило Алъкархи можно привести такіе:

1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)², такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6

1³+2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)², такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15

и т. д.

Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встрчаются въ учебникахъ ариметики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отдловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ариметика, а алгебра.

Извлеченіе корней до самаго послдняго времени входило въ составъ ариметики и содержалось даже въ нкоторыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго столтія, напр., въ задачник, изданномъ департаментомъ народнаго просвщенія, имлись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отдлъ, дйствительно, вполн числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ариметики, но только въ томъ бда, что трудно провести хорошее объяененіе этого дйствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.

Умли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извстны начала алгебры и даже въ такой мр, что они могли ршать квадратныя уравненія. Поэтому вполн слдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.

Тройное правило.

Нтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневковыхъ ариметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всхъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ r`egle dor'ee—золотого правила. Оно противополагалось цлой наук—алгебр.

За что же воздаются такія неумренныя похвалы отдлу, который въ наше время привыкъ занимать уже боле скромное мсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себ вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику цлей, которыя преслдовала ариметика съ древнихъ временъ.