Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи ршались большею частію приведеніемъ къ единиц. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебр. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гд даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примръ: 100 rotuli (пизанскій всъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:

Правило предписывало ршать эту задачу слдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 длить на 100.

 Особенное вниманіе, стали удлять тройному правилу съ ХVІ-го вка, т. е. съ тхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобртеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мр, съ нашей точки зрнія. Прежде всего опредлялось правило чисто вншнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздлить на 1-е число». Такое опредленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно ршать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумніе учебники не считали нужнымъ. Кром того, ршались задачи не только съ цлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариметикахъ он располагались такъ непослдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариметики дробныхъ чиселъ.

Посл тройного правила съ цлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой групп; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ род слдующаго: «Если мра зерна стоитъ 1 1/2 марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлба; сколько пудовъ хлба дадутъ на марку, если мра зерна стоитъ 1 3/4 марки; ршаемъ тройнымъ правиломъ, получится

но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ

.»

Въ подобномъ дух трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)

«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вмсто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: нкій господинъ призвалъ плотника и веллъ дворъ строити, давъ ему двадцать человкъ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отвща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ человкъ достоитъ имти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоумяся вопрошаетъ тя ариметиче: колико человкъ ему достоитъ имти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погршиши; но подобаетъ ти не тако: 30—20—5, но сице превративъ: 5—20—30; 30 X 20=600; 600 : 5=120».

 За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вк такъ: