Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сдлать заключенiе, которое годится для нашего времени. Средневковая ариметика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ ршеніемъ вопросовъ, имла слишкомъ большое вліяніе на всю послдующую школьную жизнь, и настолько большое, что слды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но он слишкомъ тсно насъ охватили и слишкомъ крпко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ариметики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нердко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между тмъ ремесленные пріемы итальянцевъ и нмцевъ, стремившихся не развить человка, а сдлать изъ него счетную машину, примняются нердко и теперь. Къ чему вс эти правила: тройное, смшенія и т. д.? Какой цли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ ршенныхъ задачъ, а не предшествовать ршенію задачъ; вредно ршать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отвта свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ вид рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя ршенія; но имъ слдуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сдлать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или он расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить боле систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ длаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хотлось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, чмъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго дйствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть тсное связываніе всхъ частей курса, почему и не можетъ имть мста механическое вкладываніе въ голову отдльныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.

Правило пропорціональнаго дленія.

Пропорціональное дленіе съ давнихъ временъ прилагалось тогда, когда требовалось раздлить завщанный капиталъ между наслдниками. Поэтому въ сборникахъ, обыкновенно, помщалось нсколько задачъ этого рода. Вотъ задача изъ сборника Магницкаго: «Нкій человкъ имяше жену и три сына и дщерь едину; той человкъ при смерти своей написа въ завт своемъ послди себе раздлити пожитки, жен осмую часть всего имнія, сыномъ же всякому ихъ вдвое при дщери своей, изъ тхъ ⁷/₈ всего имнія, по смерти же его обртеся имнія на 48000 рублевъ, и вдательно есть, колико кому досталось изъ того его всего имнія; придетъ: жен 6000 рублевъ, дтямъ мужеску полу 12000 рублевъ, а дщери 6000 рублевъ:

Въ прежнее время авторы учебниковъ давали очень замысловатые вопросы касательно завщаній. Напр., они разсчитывали доли такъ, что сумма ихъ не составляла единицы, и тутъ приходилось много мудрить, прежде чмъ придти къ сносному ршенію. Дйствительно, если осталось три наслдника, и первому отказано 1/2 имнія, второму 1/3 и послднему 1/4 , то какъ же тутъ поступить, вдь эти доли образуютъ вмст больше, чмъ цлое наслдство, именно ¹³/₁₂ наслдства; въ такихъ случаяхъ брали, обыкновенно, отношеніе частей и по нимъ длили; въ нашемъ примр 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3, слдовательно, старшему сыну надо дать ⁶/₁₃, второму ⁴/₁₃ и третьему ³/₁₃ всего наслдства.

Любопытную задачу въ этомъ род далъ знаменитый римскій юристъ Сальвіанъ Юліанъ, жившій при императорахъ Адріан и Антонин Пі (во II в. по Р. X.)

«Нкто, умирая, оставилъ беременную жену и завщалъ: если у меня родится сынъ, то пусть ему дано будетъ 2/3 имнія, а жен остальная 1/3 , если же родится дочь, то ей 1/3 а жен остальныя 2/3 , родилась двойня, — сынъ и дочь, какъ же теперь раздлить имніе?»

Сальвіанъ предложилъ сыну дать 4 части, жен 2 и дочери 1. Задача считалась очень интересной и даже вошла въ пандекты, византійскій сборникъ законовъ. Между прочимъ, Алькуинъ, придворный математикъ Карла Великаго (въ VIII в. по Р. X.), думалъ надъ этой же задачей, но она изложена у него съ другими числами. По Алькуину, сыну завщано 3/4 и вдов 1/4 , дочери ⁷/₁₂ и вдов ⁵/₁₂. Къ задач приложено переписчикомъ ршеніе, съ которымъ согласиться нелегко: чтобы удовлетворить сына и мать, надо 12 долей, а еще дочь и мать 24 доли; по 1-му условію сынъ получаетъ 9 долей, мать 3, по второму — мать 5 и дочь 7, всего приходится матери

сыну —