Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

«летло стадо гусей, на встрчу имъ летитъ одинъ гусь и говоритъ: здравствуйте, сто гусей, а т ему отвчаютъ: нтъ, насъ не сто гусей, а если бы насъ было еще столько, сколько есть, да еще полъ-столька, да четверть-столька, да еще ты одинъ гусь съ нами, тогда насъ было бы ровно сто гусей. Сколько ихъ было?»

Ршеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

   X

44 33

вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздлить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, врный отвтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затмъ высчитать погршность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погршность; тогда

Способъ фальшиваго правила былъ извстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ вс арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слдующій примръ: «найти такое число, что если отнять отъ него 1/3 и 1/4 его, то въ остатк будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формул ршенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правил, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задач одинъ отвтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 19¹/₅. О фальшивомъ правил много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чмъ погршается».

Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизвстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k₁; подставивъ k₁ вмсто х, пусть мы получимъ во второй части вмсто нуля т₁, такъ что ak₁ + b = n₁ т.-е. ошибка оказалась во второй части на n₁. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k₂, и пусть вторая часть обратится въ n₂, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n₂. Теперь мы получимъ такую систему:

то образуется слдующее выраженіе для неизвстнаго:

Изъ этой формулы выходитъ: n₁x- n₂x= n₁k₂- n₂k₁, или n₁(x-k₂)=n₂(x-k₁) откуда получается пропорція: n₁: n₂=(х-k₁) : (х-k₂), т. е. ошибки неизвстныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.

Фальшивое правило вводилось во вс учебники ариметики до начала 19-го вка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отдловъ. Оно встрчается, между прочимъ, въ ариметик Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ариметическаго курса, и его нигд найти нельзя. Дв причинь содйствовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сдланъ только алгебраически и, слдовательно, въ ариметик онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно ршать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі ршать; а, между тмъ, это существенно важно, потому что, еслі примнить правило къ тому, къ чему оно непримнимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразумніе. На самомъ дл это правило можетъ имть силу только для тхъ задачъ, гд вся задача сводится къ умноженіямъ и дленіямъ неизвстнаго.

Прочія правила: смшенiя, двичье и другiя.