Книга 1. Звезды свидетельствуют

Он предложил рассмотреть совокупность всех конфигураций из восьми ярких звезд Альмагеста. В качестве ярких звезд профессор Деннис Дьюк взял множество из 72 звезд, величина которых в Альмагесте меньше 3. Напомним, что чем меньше величина, тем ярче звезда. Из этого множества 72 звезд были выбраны все сочетания по 8 звезд, для которых максимальная ошибка в широте в каталоге Альмагеста не превосходит 10′ на некотором ненулевом временнóм интервале (t₁,t₂), целиком лежащем от 400 года до н. э. до 1600 года н. э. Всего получилось 736 сочетаний по 8 звезд из примерно 500 тысяч возможных сочетаний. Каждое такое сочетание задает свой интервал датировки (t₁,t₂). Деннис Дьюк рассмотрел множество центров этих «датирующих интервалов», то есть множество величин (t₁+t₂)/2. Оказалось, что если построить гистограмму частот распределения этих центров на оси времени, то возникает ярко выраженный максимум на отрезке 600–900 годов н. э., см. рис. 7.24. Следовательно, наиболее вероятной датой составления каталога Альмагеста являются VII–X века н. э.

Рис. 7.24. Гистограмма частот распределения центров «датирующих интервалов» для 736 конфигураций из восьми ярких звезд Альмагеста. Хорошо виден ярко выраженный максимум на отрезке 600–900 годов н. э.

Подход, предложенный профессором Д. Дьюком, обладает тем преимуществом, что плохо измеренные или слишком медленно меняющиеся звездные конфигурации автоматически исключаются из выборки. Дело в том, что для них интервалы датировки при 10-минутном уровне по широте либо пусты, либо настолько велики, что не умещаются внутри выбранного профессором Д. Дьюком априорного исторического интервала от 400 года до н. э. до 1500 года н. э. Оказывается, что после такого довольно жесткого отбора остается все еще много конфигураций, а именно, 736 восьми-звездных конфигураций. Если взять в качестве датировки по некоторой такой конфигурации центр ее «датирующего интервала» по уровню 10′ в широте, то мы получим дату для каталога Альмагеста с некоторой случайной ошибкой, то есть, возмущенную дату составления каталога. Построив распределение возмущенных дат, мы сможем существенно точнее, чем по отдельной конфигурации, датировать каталог Альмагеста.

Естественно предположить, что истинная датировка каталога служит средним значением для случайно возмущенных дат. Это среднее можно оценить по имеющемуся в нашем распоряжении эмпирическому распределению. Считая, что истинное распределение возмущений близко к нормальному, легко оценить его дисперсию. Выборочное среднеквадратичное отклонение для распределения на рис. 7.24 равно приблизительно 350 лет. Ввиду того, что выборка была цензурирована по априорному интервалу времени, который оказался несимметричным относительно центра распределения, см. рис. 7.24, оценка среднего по данному распределению оказывается смещенной. Если учесть этот эффект, то более аккуратная оценка для среднеквадратичного отклонения будет еще меньше.

Далее, центр выборочного распределения лежит около 800 года. Если бы элементы выборки были независимы, то можно было бы сделать вывод о том, что истинная дата составления каталога Альмагеста лежит в пределах 800±(3×400)√736, то есть в пределах 800 ± 45 лет. На самом деле элементы выборки независимыми считать нельзя, поэтому реальная точность датировки каталога Альмагеста 800-м годом н. э. существенно ниже, чем ±45 лет. Тем не менее, датировку началом н. э. и более ранними эпохами в этой ситуации можно считать крайне маловероятной, практически исключенной.

6. Анализ устойчивости статистической процедуры датировки каталога Альмагеста

6.1. Необходимость вариации величин, участвующих в алгоритме

При описанной выше процедуре датировки, некоторые величины, определяющие алгоритм, были выбраны достаточно произвольно, а другие явились результатом статистических выводов. Поэтому необходимо проверить, как ведет себя получаемый интервал датировки при вариации указанных величин.

6.2. Вариация уровня доверия

Величина ε, определяющая уровень доверия, выбиралась нами достаточно произвольно. Напомним, что в статистических задачах она имеет смысл допустимой вероятности ошибки, то есть если, например, ε = 0,1, то мы допускаем ошибку с вероятностью 0,1. Чем меньше ε, тем шире доверительный интервал. Зависимость величины доверительного интервала от ε рассмотрена в главах 5 и 6. См., в частности, табл. 6.3.

Рассмотрим, как изменяется полученный нами интервал датировки в зависимости от ε. Мы уже отмечали, — и это следует из рис. 7.11, — что при всех значениях ε, не бóльших 0,1, интервал датировки каталога Альмагеста получается один и тот же. Эго утверждение является следствием расположения интервалов S_t(α) при α = 10′.