Книга 1. Звезды свидетельствуют

Аппроксимируя сглаживающую кривую оптимальной синусоидой, мы достигаем минимума возможной среднеквадратичной ошибки. При этом необходимо допустить некоторую вариацию этого минимума. Дело в том, что, вообще говоря, параметры оптимальной синусоиды не соответствуют в точности фактической ошибке наблюдателя. Допуская 5-минутные вариации минимума среднеквадратичного отклонения, заметим, что изменение на 10 градусов фазы синусоиды с амплитудой 20′ меняет ординату любой точки синусоиды не более чем на 5′. Для стандартной синусоиды, — с амплитудой 1 и фазой 0, — изображенной на рис. 8.7 сплошной линией, отрезок ОА примерно равен дуге ОВ. Дело в том, что отрезок ОА мы считаем сейчас достаточно малым, а именно равным приблизительно 1/6 радиана, то есть 10 градусов. В этом случае отрезок АВ составляет 1/6 часть амплитуды, то есть приблизительно 3,3′. Таким образом, примерно 3-минутное возмущение среднеквадратичного отклонения может привести к 10-градусному изменению фазы аппроксимирующей, оптимальной синусоиды.

Рис. 8.7. Изменение фазы синусоиды.

Пункт 5. В предыдущих главах мы уже определили интервал возможных датировок каталога Альмагеста, а именно, мы установили, что t₀ лежит в интервале от 6 до 13, то есть примерно от 600 года н. э. до 1300 года н. э. Поэтому особый интерес представляет изучение аппроксимирующих синусоид s(X, K(t₀, 0, 0)) именно для этого интервала возможных датировок. Оказалось, что внутри интервала 600-1300 годы н. э. они мало меняются, то есть слабо зависят от t₀. Более точно, максимальная амплитуда А* меняется от 26′, при t₀ = 6, до 20′, при t₀ = 13. При этом фаза φ* изменяется от -17° до -18°, относительно соответствующей точки равноденствия Q(t₀) на эклиптике П(t₀). Поэтому в качестве «типичного представителя» можно выбрать любую сглаживающую кривую с(Х, К(t₀, 0, 0)), где t₀ — любое число от 6 до 13. Естественно взять середину временнóго интервала, а именно значение t₀ = 9.

Покажем, как выглядит сглаживающая кривая с(Х, К(t₀, 0, 0)) при t₀ = 9 до и после вычитания оптимальной синусоиды. То есть, до и после исключения обнаруженных нами систематических ошибок. На рис. 8.8 видно, что сглаживающая кривая с(X, К(t₀, 0, 0)) при t₀ = 9 близка к синусоиде. Параметры оптимальной синусоиды для t₀ = 9 таковы. Амплитуда равна 24′, а фаза -17°. На рис. 8.8 сглаживающая кривая изображена пунктиром. Исключение из каталога X ошибки наблюдателя в определении эклиптики равносильно вычитанию оптимальной синусоиды с параметрами А* = 24′ и φ* = -17° для t₀ = 9. В результате сглаживающая кривая широтной невязки приобретает вид, показанный на рис. 8.8 сплошной линией. Отчетливо видна разница между пунктирной и сплошной кривыми. Последняя колеблется около оси абсцисс и соответствует нулевой средней ошибке наблюдателя в определении положения эклиптики. Ясно, что теперь поле ошибок аппроксимируется вырожденной синусоидой, то есть, попросту, прямой линией, совпадающей с осью абсцисс.

Рис. 8.8. Альмагест, t = 9. Пунктиром показана исходная синусоида Петерса, сплошной линией — синусоида типа Петерса после вычитания систематической ошибки.

ВЫВОД. В найденном интервале возможных датировок каталога Альмагеста, а именно, 600-1300 годы н. э., после исключения ошибки наблюдателя в определении положения эклиптики, эффекты типа синусоиды Петерса в широтах пропадают.

Пункт 6. Вернемся к синусоиде Петерса в широтах каталога Альмагеста. Так как Петерс в своих вычислениях, возможно, учел не все зодиакальные звезды, мы заново вычислили и построили график, аналогичный графику Петерса для t = 18, то есть для 100 года н. э., рис. 8.3. При этом мы взяли ВСЕ ЗОДИАКАЛЬНЫЕ ЗВЕЗДЫ АЛЬМАГЕСТА, исключив лишь несколько выбросов с широтной невязкой, превышающей 1,5°. Данные мы брали из труда [1339]. В итоге мы обработали практически все 350 зодиакальных звезд Альмагеста.

Результат наших вычислений показан на рис. 8.9 и рис. 8.10, где изображено поле ошибок, по широтам, при t = 18, для Зодиака Альмагеста. Это поле представлено 350 точками, разбросанными по плоскости. Сплошная ломаная изображает сглаживающую кривую с(X, К(18,0,0)). Отчетливо видно, что она качественно напоминает кривую Петерса на рис. 8.3. В целом поведение нашей уточненной кривой на рис. 8.9 аналогично кривой Петерса на рис. 8.3. Однако имеются некоторые, не очень большие, различия. Эти отличия, по-видимому, объясняются неизвестным нам принципом отбора зодиакальных звезд, которым руководствовался Петерс.

Рис. 8.9. Вычисленная нами кривая типа Петерса для Зодиака Альмагеста, t = 18.