Красота в квадрате

[8] Самая гибкая система с использованием единичных дробей — бинарная система, в которой дроби образуются так: половина, половина половины, половина половины половины и т. д., или , , , … В этой системе любая дробь может быть записана в виде комбинации единичных дробей. В 1911 году египтолог Георг Мюллер написал, что в ходе исследований открыл невероятно живописное древнее изображение первых шести единичных дробей бинарной системы. На представленном ниже рисунке изображен символ «око Гора», каждый элемент которого соответствует одной из этих дробей: левая часть роговицы — , зрачок — , бровь — и т. д.; остальные фрагменты представляют дроби , и . Шестьдесят три возможные комбинации фрагментов «ока Гора», отличных от нуля, позволяют выразить любую дробь от до . Помимо волнующего изображения «око Гора» имеет и не менее волнующую историю: это мистический символ Гора — бога с головой сокола, глаз которого был разделен на шесть частей его дядей и впоследствии снова собран воедино. К сожалению, после целого столетия принятия в 2002 году миф о глазе Гора был развенчан Джимом Риттером, который заявил об отсутствии каких бы то ни было доказательств того, что фрагменты «ока Гора» символизируют единичные дроби. Jim Ritter, Closing the Eye of Horus: the Rise and Fall of Horus-Eye Fractions, Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the ancient Near East, 2002.

[9] В полном виде греческая система обозначения чисел выглядела так:

α

β

γ

δ

ε

ς

ζ

η

q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ι

κ

λ

μ

ν

ξ

ο

π

ϙ

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ρ

σ

τ

υ

ϕ

χ

ψ

ω

ϡ

100

200

300

400

500

600

700

800

900

[10] Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.

[11] John Keay, The Great Arc, HarperCollins, 2000.

ГЛАВА 4

[1] При условии, что шар не начнет вращаться.

[2] www.lds.org/locations/temple-square-salt-lake-city-tabernacle.

[3] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.

[4] Помимо сугубо математического, слово «парабола» имеет и другое значение, поскольку древнегреческое слово parabola означает не только «бросить рядом»28, но и «сравнить». В литературе парабола — это простой короткий рассказ иносказательного характера, в котором присутствует сравнение с более сложным сюжетом. От этого значения происходит французское слово parler («разговаривать») и многие английские слова, от parliament («парламент») до parole («пароль»).

[5] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.

[6] Математическое объяснение того, почему циклы и эпициклы позволяют описать любую замкнутую непрерывную орбиту, основано на двух концепциях, о которых я часто упоминаю в этой книге: комплексные числа и ряды Фурье. Подобно тому как волну можно разложить на синусоиды, путь в комплексной плоскости можно разложить на ряд круговых вращений.

[7] Santiago Ginnobili and Christian C. Carman, Deferentes, Epiciclos y Adaptaciones, Filosofia e historia da ciencia no Cone Sul, 2008.

[8] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.

[9] Norwood Russell Hanson, Patterns of Discovery, CUP, 1961. Хэнсон начинал в качестве трубача, а во время Второй мировой войны стал летчиком-истребителем. Получив прозвище Летающий Профессор, он продолжал летать в мирное время и прославился выполнением фигур высшего пилотажа. Хэнсон погиб в возрасте 42 лет, когда его самолет разбился в штате Нью-Йорк из-за густого тумана.

[10] David Wootton, Galileo, Watcher of the Skies, Yale University Press, 2010.

[11] Stillman Drake and James MacLachlan, Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory, Scientific American, 1975.

[12] Декарт использовал косоугольную систему координат, а «декартова» система координат в современном понимании (с перпендикулярными осями) была предложена впоследствии другими учеными, уточнившими его систему.

[13] A. F. Mobius, Geometrische Eigenschaften einer Factorentafel, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1841.

[14] Rodolphe Soreau, Nomographie; ou, Traite des abaques, Chiron, 1921; Ron Doerfler, The Lost Art of Nomography, The UMAP Journal, 2009; H. A. Evesham, Origins and Development of Nomography, Annals of the History of Computing, 1986.

[15] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

[16] J. A. Bennett, The Mathematical Science of Christopher Wren, CUP, 1982.

[17] Henry Moore and Stringed Surfaces, exhibition at the Royal Society, 2012.

ГЛАВА 5

[1] Bob Palais, π is Wrong!, The Mathematical Intelligencer, 2001.

[2] Среди исторических личностей, которые отдавали предпочтение отношению длины окружности к радиусу, был аль-Каши. Считается, что в XV столетии в Самарканде он рассчитал число π до 14 десятичных знаков, получив более точный результат, чем кто-либо еще до него. На самом деле аль-Каши вообще не рассчитывал число пи; он вычислил отношение длины окружности к радиусу до 14 десятичных знаков. В 1698 году Абрахам де Муавр использовал символ c/r для обозначения отношения длины окружности к радиусу, но оно так и не прижилось.

[3] tauday.com.