Квантовые миры и возникновение пространства-времени

Вернемся к примеру с двумя кубитами, один из которых у Алисы, а другой у Боба. Вполне возможно, что они не запутаны, то есть у каждого кубита собственная волновая функция, соответствующая, например, равной суперпозиции верхнего и нижнего спинов. В данном случае энтропия запутанности у каждого кубита равна нулю. Даже если нам доступно лишь вероятностное прогнозирование результатов измерений, каждая из подсистем все равно остается в определенном квантовом состоянии.

Но представьте, что два кубита запутаны и находятся в равной суперпозиции состояний «оба спина верхние» и «оба спина нижние». У кубита Алисы нет собственной волновой функции, поскольку он запутан с кубитом Боба. Действительно, Боб мог бы измерить спин своего кубита и вызвать ветвление волновой функции так, чтобы кубит Алисы тоже раздвоился на два варианта, у каждого из которых – определенное состояние спина. Но ни одна из копий Алисы не знает, что это за состояние. Алиса оказывается в неведении и способна предсказать только то, что ее спин может с пятидесятипроцентной вероятностью оказаться верхним или нижним. Обратите внимание на тонкую разницу: Алисин кубит не находится в квантовой суперпозиции, где она не знает, каков будет результат измерения; он в таком состоянии, где при измерении в каждой из веток будет получен определенный результат измерения, но Алиса не будет знать, какое это состояние. Следовательно, мы считаем, что ее кубит обладает ненулевой энтропией. Идея фон Неймана заключалась в том, что мы должны приписать кубиту Алисы ненулевую энтропию даже до того, как Боб измерит свой, поскольку, в конце концов, она даже не знает, выполнит ли он измерение. Это и есть энтропия запутанности.

⚪ ⚪ ⚪

Рассмотрим, как энтропия запутанности проявляется в квантовой теории поля. Давайте ненадолго отвлечемся от гравитации и рассмотрим область пустого пространства в состоянии вакуума, обозначенную границей, которая отделяет внутреннюю область от внешней. Пустое пространство сильно текстурировано, в нем полно квантовых степеней свободы, каждую из которых можно считать колебательной модой полей. Эти моды внутри области будут запутаны с модами извне, поэтому с каждой областью связана своя энтропия, даже если общее состояние – это просто вакуум.

Мы даже можем вычислить, какова эта энтропия. Ответ: она бесконечна. Такое осложнение часто встречается в квантовой теории поля: оказывается, что на многие вопросы, очевидно важные с физической точки зрения, находятся только «бесконечные» ответы, поскольку существуют бесконечно разнообразные варианты возможных колебаний поля. Но, как и в случае с энергией вакуума в предыдущей главе, мы можем прибегнуть к обрезанию, то есть рассматривать моды, начиная лишь с некоторой минимальной длины волны. Результирующая энтропия получается конечной, и, оказывается, она пропорциональна площади той области, в границах которой она определяется. Несложно понять почему: колебания поля в одной области запутаны с колебаниями во всех прочих областях, но большая часть запутанности сосредоточена в близлежащих областях. Общая энтропия некоторой области пустого пространства зависит от величины запутанности между данной областью и другими, находящимися за ее пределами, а эта величина пропорциональна площади рассматриваемой области.

Это интригующее свойство квантовой теории поля. Выберите некоторую область в пустом пространстве, и окажется, что энтропия этой области будет пропорциональна площади ее границы. Это соотношение связывает геометрическую величину, то есть площадь области, с «материальной» величиной – с количеством энтропии внутри данной области. Все это отдаленно напоминает уравнение Эйнштейна, которое также связывает геометрию (кривизну пространства-времени) с «материальной» величиной (энергией). Есть ли здесь в самом деле какая-то связь?

Такая связь возможна, как отмечается в провокационной статье Теда Джекобсона, гениального физика из Мэрилендского университета. Эта статья вышла в 1995 году. В обычной квантовой теории поля, не учитывающей гравитацию, энтропия пропорциональна площади в состоянии вакуума, но в более высокоэнергетичных состояниях это правило может не соблюдаться. Джекобсон постулировал, что в гравитации есть что-то особенное: когда в расчеты включается гравитация, энтропия области всегда пропорциональна площади ее границы. Едва ли мы могли ожидать подобного от квантовой теории поля, но, возможно, как раз это и происходит, когда в игру вступает гравитация. Мы можем представить, что так оно и есть, и посмотреть, что в таком случае будет.