Маленькая книга о чёрных дырах

В нескольких предыдущих абзацах мы уже рассказали почти обо всех аспектах исходного решения, полученного Шварцшильдом. Осталось поговорить только об одном: о точном выражении для функции хода. Вдали от горизонта она равна единице – это означает, что время идет с той же стандартной скоростью, что и в плоском пространстве-времени. На горизонте функция хода равна нулю: обычное время здесь останавливается. Фактически это один из способов понять, что собой представляет горизонт. Между этими двумя положениями функция хода плавно меняется от нуля до единицы. Как именно это происходит? Функция хода равна квадратному корню из единицы минус некоторая постоянная, деленная на радиус. Эта формула немного трудна для произнесения, поэтому запишем ее:, где N – функция хода, r – радиус, а r_s – радиус горизонта, называемый радиусом Шварцшильда. С точностью до некоторых множителей шварцшильдовский радиус равен массе черной дыры. Все эти подробности Шварцшильд сумел извлечь из решения уравнений Эйнштейна. Неудобство решения Шварцшильда заключается в том, что функция хода на горизонте обращается в ноль, а радиальное растяжение, соответственно, становится бесконечным. В течение долгого времени считалось, что это, казалось бы, сингулярное поведение указывает на какую-то неправильность в метрике Шварцшильда. На самом деле неправильность заключается в координатах, которые мы выбрали для описания времени и радиуса: эти координаты лучше всего приспособлены для описания наблюдателей, парящих в фиксированных точках вне горизонта. Функция хода, которую мы обсуждали, тоже описывает гравитационное красное смещение именно для таких наблюдателей. То, что функция хода обращается в ноль на горизонте, просто означает, что парить, находясь на горизонте черной дыры, невозможно! Неудивительно, что метрика выглядит сингулярной с невозможной точки зрения! Вот если бы кто-нибудь описывал метрику Шварцшильда с точки зрения наблюдателя, свободно падающего в черную дыру, в положении горизонта не было бы ничего сингулярного или просто необычного. Различие между парящим и свободно падающим наблюдателями можно отразить преобразованием координат, несколько напоминающим преобразования Лоренца, но более сложным. После такой замены координат, в которых смешаны время и радиус, решение Шварцшильда на горизонте становится идеально гладким. Остается только сингулярность в центре черной дыры.

В природе решение Шварцшильда встречается нам буквально на каждом шагу. Гравитационное поле Земли можно очень хорошо приблизить простой шварцшильдовской метрикой искривленного пространства-времени. По сути дела, метрика пространства-времени в окрестности любого идеального сферического распределения масс должна точно совпадать с метрикой Шварцшильда. Отклонения от шварцшильдовской метрики на Земле (точнее, непосредственно над ее поверхностью) возникают потому, что Земля не идеально круглая, она вращается, и мы немного ощущаем гравитационное притяжение других массивных тел (в особенности Луны).

Но если мы живем в метрике Шварцшильда, не означает ли это, что горизонт черной дыры притаился где-то под нами, вблизи центра Земли? К счастью, нет! Решение Шварцшильда описывает только геометрию пространства-времени вне земной поверхности. Внутри Земли действует другое решение уравнений поля Эйнштейна, и оно не имеет никаких сингулярностей (фактически до самого центра Земли геометрия пространства-времени остается почти плоской). Так как все планеты и звезды, известные во времена, когда Шварцшильд сделал свое открытие, далеко превосходят по размерам свои шварцшильдовские радиусы, было очень заманчиво постулировать, что свойства реальной материи никогда не позволят звездам сконцентрироваться в такой маленький объем, что их радиус окажется хоть сколько-нибудь близок к шварцшильдовскому. И хотя за последующие годы было собрано много доказательств неверности этого постулата, только в 1960-х идея черных дыр по-настоящему вошла в обиход теоретической физики.