Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

После этого я показал ребятам картинки из книги Германа Вейля «Симметрия» и из сборника «Узоры симметрии». Мы отыскивали осе-симметричные и центрально-симметричные фигуры; я сказал, что чем больше у фигуры симметрий, тем она красивее.

Среди картинок мы нашли рисунки снежинок. Дима очень удивился:

— Что это, снежинки?

Я сказал:

— Да, только сильно увеличенные.

Мальчики договорились пойти на улицу с лупой и рассматривать снежинки (к сожалению, ничего путного из этого не вышло, так как снег был слежавшийся).

Потом мы с Петей часто ловили падающие и ещё не испорченные снежинки и их рассматривали. — Дима.

Наконец, мы стали строить на круглой мозаике центрально-симметричную фигуру (с учётом цвета фишек). Вот тут бы мне догадаться и построить снежинку! Но вместо этого наша фигура имела только центр симметрии и никаких осей. Ребята справлялись с заданием очень хорошо, ошибок практически не допускали. Боря[21] участвовал вместе с нами.

После занятия, когда мальчики уже одевались на улицу, я рассказал им о Кеплере и о том, что он в качестве новогоднего подарка другу написал математическую работу «О снежинке, или Новогодний дар». Только тогда мне пришла в голову идея о возможности «новогоднего» занятия. На нём можно было бы ещё вырезать снежинку из бумаги.

Занятие 43. О некоторых свойствах сложения

9 января 1982 года (суббота). 11²⁰-12⁰⁰ (40 мин.). Дима, Петя, Женя.

На этот раз я сказал, что вчера на английском у них было новогоднее занятие; после этого каждый получил в подарок пластмассовую снежинку. Я взял Димину снежинку и всем её показал; сказал, что наше сегодняшнее занятие тоже будет новогодним.

Задание 1. Симметрии снежинок. Я сказал ребятам, что снежинка очень красивая, потому что у неё много симметрий, и попросил их показать, какие они видят симметрии. Они нашли не только очевидные оси, идущие вдоль лучей, но и менее очевидные, идущие между лучами (оси АА' и ВВ' на рис. 67).

Рис. 67.Симметрия снежинки

Потом я спросил, есть ли у снежинок центр симметрии. Ребята сказали, что есть. После этого я показал висящую на стене вырезанную Аллой к Новому году снежинку из бумаги и сказал, что она тоже очень симметричная и очень красивая, только в одном отношении не похожа на настоящую снежинку: у настоящей снежинки всегда бывает 6 лучиков, а у этой — 8. Затем я объяснил, почему снежинку из 8 лучиков легче вырезать из бумаги, чем из 6: три раза сложишь — получится восьмушка. Некоторое время мы поспорили, как надо складывать бумагу, чтобы получилось 6 лучиков. Потом я показал, как это сделать. У Димы затряслись руки — так ему захотелось что-нибудь тут же вырезать. Но я сначала сам решил обрезать край, чтобы из квадрата сделать круг в качестве заготовки; Дима, однако, не дождался, пока я это сделаю, и начал складывать другой лист бумаги, я же, воспользовавшись этим, дорезал снежинку сам. К сожалению, полученная фигура имела всего три оси симметрии вместо шести и поэтому не была центрально-симметричной (рис. 68); я не продумал этот вопрос заранее, так как вся ситуация с листом бумаги и с вырезанием произошла экспромтом. Я скомкал эту тему (комкать снежинку не стал) и поспешил скорее перейти к мозаике.

Рис. 68. Неудавшаяся снежинка: всего три оси симметрии, а центра симметрии вообще нет. Эту снежинку можно поворачивать на 120°, но повороты мы ещё «не проходили».

Задание 2. Построение снежинки на круглой мозаике. Речь идёт не о той прямоугольной мозаике, которой мы многократно пользовались на предыдущих занятиях, а о другой, круглой мозаике с шестиугольными фишками. Задание ясно из заглавия: я ставил на мозаику одну фишку, а очередной из мальчиков должен был поставить все соответствующие ей фишки, чтобы получилась снежинка (т. е. если исходная фишка была на луче, то надо было достроить ещё 5, а если не на луче, то ещё 11, рис. 69).

Рис. 69. Если точка лежит на луче снежинки, ей соответствуют ещё 5 «таких же» точек; то же самое верно и для точек, лежащих на биссектрисах лучей. В остальных случаях одной точке соответствуют ещё 11 «таких же».

Цвет, естественно, тоже учитывался. Дима и Петя делали всё правильно, а Женя почему-то всё время допускал одну и ту же ошибку. В итоге их деятельности получилась довольно красивая разноцветная снежинка.