Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Размышляя над этой задачей после занятия, я придумал хорошую задачу для взрослых: построить мультипликативный магический квадрат, т. е. квадрат, в котором стоят различные натуральные числа, и произведения чисел каждой строки, каждого столбца и обеих диагоналей одинаковы. Вместо того, чтобы требовать, как для аддитивных квадратов, чтобы числа в таблице составляли начальный отрезок натурального ряда 1, 2, 3, n² (для мультипликативных квадратов это невозможно), можно потребовать, чтобы произведение было минимальным. «Минимальные» мультипликативные магические квадраты размера 4x4 и 3x3 показаны на рис. 71.

Рис. 71.Мультипликативные магические квадраты. Если перемножить числа каждой строки, каждого столбца, а также двух диагоналей, то каждый раз получится одно и то же число: 44 100 для большого квадрата и 216 для маленького.

Ещё одно решение для квадрата 3x3 (аддитивного): уменьшаем каждое число на 5; тогда вместо чисел 1, 2, 3…., 9 имеем числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4, а во всех строках, столбцах и диагоналях должна получиться сумма 0. Ставя в центр 0, симметричные относительно центра клетки заполняем противоположными числами. В итоге получаем, например, вот что:

Интересное наблюдение в процессе вычислений: Дима полагает, что если каждое из трёх слагаемых увеличить на единицу, то и сумма увеличится на единицу.

Занятие 45. Обобщённые цепочки

23 января 1982 года (суббота) 11¹⁰— 12⁰⁰ (50 мин) Дима, Петя, Женя

Задание 1. Я показал ребятам тот магический квадрат, который сам составил в их отсутствие, а Дима сказал, что, оказывается, в середине обязательно должна быть пятёрка. Петя стал водить пальцем вдоль строк и столбцов, приговаривая скороговоркой:

— Пятнадцать, пятнадцать, пятнадцать, — однако никакой дальнейшей проверки или обсуждения не последовало, и я не стал к ним приставать, чтобы не впадать в занудство.

Задание 2. Одно из заданий из серии С²₅ описанных в предыдущей главе: я его здесь не повторяю.

После окончания работы я пообещал ребятам, что как-нибудь в следующий раз дам им задачу, по виду не похожую на эту, а на самом деле в точности такую же, но они об этом не догадаются. Дима очень заволновался и спросил, скажу ли я им об этом потом. Я успокоил его, пообещав, что скажу.

Задание 3. «Обобщённая цепочка». На листе бумаги нарисовано несколько кругов, соединённых линиями. Требуется в каждый круг положить по фигурке из венгерского набора так, чтобы в кругах, соединённых линией, лежали фигуры, отличающиеся в точности одним признаком (а в кругах, не соединённых линией, неважно). На этот раз ребята получили две задачи (рис. 72).

Рис. 72.В круги кладутся фигурки из набора Дьенеша; те из них, что соединены чертой, должны отличаться одним признаком; на остальные пары условий нет.

В первой из задач фигуры, лежащие на лучах, отличаются от центральной фигуры: три — цветом, две — формой, одна — размером, одна — дырочностью (итого семь).

Вторая задача сложней. В ней есть только два типа решений: когда в вершинах треугольника лежат одинаковые фигурки трёх разных цветов либо трёх разных форм. Поскольку ребята положили сначала в две вершины большую и маленькую фигурки, решение долго найти не удавалось. Пришлось мне провести рассуждение, показывающее, что третья фигурка не может быть ни большой, ни маленькой. Тогда они вторую фигурку заменили, однако заменили её такой, которая отличалась от первой только дыркой. Опять начались долгие поиски решения, и мне опять пришлось объяснить, что третья фигурка не может быть ни с дыркой, ни без дырки.

Наконец, Дима нашёл верное решение, а я показал второй возможный вариант.

На этом занятие закончилось, но мальчики никак не хотели расставаться с красивыми фигурками и попросили разрешения хотя бы самим сложить их в коробку. Я разрешил. Тогда Петя закричал:

— Я буду складывать квадраты!

Дима:

— А я — круги!

А Женя закричал:

— А я — маленькие!

Я воспользовался случаем произвести математическое назидание:

— Понимаешь, Женя, если Дима будет складывать круги, а ты — маленькие, то непонятно, кому из вас складывать маленькие круги.

Потом я подошёл к ним ещё раз и спросил, какие фигурки складывать труднее всего, а какие — легче всего, и почему. После обсуждения я объяснил, что треугольник можно повернуть только тремя способами (чтобы он попал в лунку), квадрат — четырьмя, а круг — бесконечным числом способов. Дима сказал, что самые трудные — одноугольники.