Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

— А вот единицу с кем очень легко сложить? (Прошу прощения у ригористов, я очень люблю делать числа одушевлёнными.)

На это Дима резонно ответил, что её с любым числом легко сложить. Тогда я нашёлся:

— А девятку?

Оказалось, что девятку легче всего сложить с единицей — и получить очень хорошее число 10, его можно отложить отдельно и запомнить. Тут ребята сами догадались, что так же можно отделить 2 + 8, 3 + 7 и 4 + 6. Получилось четыре десятки и отдельно 5.

— Ну и сколько же получилось в сумме? — спросил я.

— Сто! — закричал Петя.

К моему удивлению, не одному лишь Пете, но и Диме с Женей тоже было не очевидно, что четыре десятки плюс пять дают 45. Так что пришлось ещё кое-что объяснять и наводящие вопросы задавать. То ли они уже устали, то ли задача для них слишком трудна — не знаю. Интересно, как обстояло дело тогда, когда люди ещё не придумали позиционную систему счисления. Им тогда не приходилось оперировать с цифрами, представляющими собой отдельно десятки и отдельно единицы. Возможно, формальный характер этих операций не заслонял от них сути дела? Но это всё фантазии.

В заключение я пообещал, что в следующий раз мы попытаемся сложить из этих чисел магический квадрат, но сам теперь сомневаюсь, доступна ли для них эта задача. Несколько проб, которые ребята сделали тут же, на месте (без моего участия) скорее убеждают в том, что недоступна.

Вечером Дима подошёл ко мне и спросил, как всё-таки — всегда ли будет одинаковое число, если складывать по-разному. Я сказал, что всегда. А знаю ли я сам объяснение? Знаю. Почему же я им не сказал? Потому что хотел, чтобы они сами думали. А когда они сами догадаются, я им скажу? Я ответил, что скажу.

Занятие 44. Магический квадрат

16 января 1982 года (суббота). 11²⁰-12²⁰ (1 час). Дима, Петя, Женя.

Описать это занятие очень трудно. Первым заданием было складывание магического квадрата — и хорошо ещё, что я сделал его первым, так как оно растянулось на целый час и оказалось очень трудным. Всё занятие состояло из проб различных вариантов, а также из поиска (с моими подсказками и наводящими соображениями) руководящих принципов перебора. В общих чертах события развивались так.

1) Сначала мы решили выбрать то число, которое должно служить суммой элементов каждой строки и каждого столбца. По предложению ребят было выбрано число 5. Долгое время они пытались получить сумму 5; наконец, пришли к выводу, что это невозможно, однако я потребовал объяснений. С грехом пополам совместными усилиями мы такое объяснение нашли: даже три самых маленьких числа 1, 2 и 3 уже дают сумму большую, чем 5.

2) После этого были перепробованы суммы 6, 8, 10, 12, 13 — однако каждый раз безуспешно: либо вторую, либо третью строчку сложить не удавалось.

3) Тогда я предложил подумать и понять, какую следует выбрать сумму. Я напомнил им, что в прошлый раз мы подсчитали сумму всех чисел (ребята сами вспомнили, что она равна 45). После этого мы долго методом подбора делили 45 на 3.

4) Найдя нужную сумму, стали складывать строки так, чтобы в них получалась сумма 15. Здесь тоже не обошлось без проб и ошибок, но в итоге дело было сделано. Особенно ребята обрадовались, увидев, что в последней строчке само собой получилось 15.

5) Далее мы стали, перекладывая цифры только внутри строчек, добиваться суммы 15 в столбцах. Это тоже удалось.

6) Наконец, мы перешли к диагоналям. В одной из диагоналей сумма сама собой оказалась 15, а в другой — 6. Мы стали переставлять сразу целые строки или целые столбцы, пытаясь получить 15 на обеих диагоналях, но из этого ничего не вышло. Так нам и пришлось удовлетвориться неполноценным решением:

Здесь сказался мой недосмотр: если бы я обдумал задачу заранее, то понял бы, что в центральной клетке может стоять только 5 и ничто иное — и тогда одной перестановкой строк и одной перестановкой столбцов мы бы получили решение:

На следующий день я рассказал Диме, почему в центре должно стоять 5 (рис. 70), и мы с ним сложили настоящий квадрат, но остальным я этого пока не рассказывал.

Рис. 70.Если догадаться, что в центр квадрата следует поставить 5, то вся задача сильно упрощается: ведь тогда суммы чисел, стоящих в противоположных клетках, должны быть равны 10.

Забыл написать в самом начале, что я показал ребятам перфокарты[22] и некоторое время объяснял, что это значит и зачем, и отвечал на вопросы.