Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Следует обратить внимание на нечёткую постановку задачи: «чтобы получилась снежинка». Для меня это до некоторой степени — вопрос принципа. Чёткая и точная постановка потребовала бы разговоров о поворотах, о сразу многих осях симметрии и чуть ли не о группе автоморфизмов, и дети всё равно бы ничего не поняли и не запомнили. Разумный режим работы — это когда понимание условия и необходимые уточнения к нему приходят в процессе решения. Не так ли работает математик-исследователь? Окончательная формулировка задачи становится ясной лишь тогда, когда задача наконец решена.

Задание 3. Ассоциативность (и коммутативность) сложения. Я сказал ребятам, что когда они пойдут в школу, они там будут учиться считать, но и сейчас уже… Они меня перебили и стали кричать каждый своё:

Петя: А я уже умею, но только до ста.

Женя: А я только по часам.

Дима: А я умею считать до очень больших чисел, только я не пробовал.

По контексту я понял, что они под словом «считать» понимают последовательное перечисление чисел: раз, два, три… Я сказал, что они ещё немножко умеют складывать и умножать. Выяснилось, что Петя и Женя не знают, что значит «умножать». Я объяснил, что это значит складывать много раз одинаковые числа, и привёл пример.

Но самое интересное, продолжал я, не просто складывать и умножать, а знать некоторые удивительные секреты про сложение и умножение. И вот один из таких секретов я вам сейчас покажу.

После этого мы рассмотрели два примера: 5 + 6 + 7 и 6 + 8 + 2. В каждом из них мы делали сложение тремя различными способами: сначала выбирали два числа и складывали их, затем к сумме прибавляли третье число.

[Надо было начать с коммутативности.]

Каждый раз получалось одно и то же. Я спросил у ребят, почему так получается, и всегда ли будет одно и то же. Без всякого удивления они ответили, что всё это потому, что мы складываем одни и те же числа, и что так будет всегда. Я назвал три очень больших числа, одно из них с миллионами, и спросил, уверены ли они, что для таких больших чисел тоже всё будет правильно. Мальчики согласились, что для таких чисел это может оказаться и неправильным.

Тогда как же всё-таки объяснить совпадение результатов у нас? Петя снова повторил тот же аргумент: мы складываем одни и те же числа и, значит, делаем одно и то же.

— Как одно и тоже? — возмутился я.

— Смотри, здесь мы сначала получаем 11 и к нему прибавляем 7, а здесь сначала получаем 13, а к нему прибавляем 5!

— Ну и что? — ответил Петя.

А мне так хотелось, чтобы они удивились!

Тогда я зашёл с другого конца.

— А что, — спросил я, — если мы делаем одни и те же действия в разном порядке, всегда получится одно и то же?

— Да, — сказал Петя.

— Ну смотри, Петя, — сказал я. — Допустим, что тебе нужно надеть носки, валенки и галоши. Если ты сначала наденешь носки, потом валенки, а потом галоши, то всё будет хорошо.

(Кивок.)

— Ну а если ты наденешь сначала галоши, потом валенки, а потом носки?

Раздался громкий хохот, и мальчики стали наперебой сочинять, что ещё можно неправильно надеть.

— Вот видите, — сказал я, — иногда нужно делать не только правильные действия, но ещё и в правильном порядке.

[Следует признать, что пример не совсем честный, так как демонстрирует нарушение коммутативности, а не ассоциативности. Однако коммутативностью сложения мы тоже пользовались, когда складывали два крайних члена суммы, а потом добавляли средний.]

— Почему же всё-таки у нас всё правильно?

Петя ответил, что ему всё равно всё понятно, только он не знает, как объяснить.

— Ну ладно, — сказал я, — если вы так уверены, что можно складывать числа в любом порядке, то решите вот такую задачу: нужно сложить все вот эти числа.

И я разложил на столе карточки с числами от 1 до 9, которые вообще-то предназначались для того, чтобы складывать из них магический квадрат 3x3. Я сказал, что это задача очень трудная, но если они проявят хитрость и придумают, какие числа с какими удобно складывать, то она станет лёгкой.

Однако ребята всё же стали складывать числа подряд. Считал практически один Дима; Женя иногда подключался, понукаемый Наташей, Петя же только в самом начале закричал:

— Получится сто! — и этим его участие в процессе счёта и ограничилось.

Досчитали; получилось 45. Я сказал, что они молодцы и очень хорошо считают, но что хитрости у них всё же маловато, и другим способом можно было бы сосчитать гораздо проще. Дима предложил считать с другого конца (с девятки).

— Ну попробуй, будет ли проще, — сказал я. — Девять и восемь легко сложить?

— Нет, — ответил Дима, но тут его перебил Женя и сказал, что если считать с другого конца, то будет больше.

— Сто! Получится сто! — обрадованно закричал Петя.

(Куда только девалась его уверенность в том, что результат всегда будет одинаковым?) Тогда мы стали всё-таки считать с правого конца; работал опять один Дима, и получилось снова 45.

Поскольку ребята никак не догадывались до разумного способа, я задал наводящий вопрос: