Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Одноплановые уроки математики, широко распространенные в США, — это уроки, на которых практика ценится превыше всего и цель состоит в правильном выполнении процедур. Такой узкий критерий успеха приводит к тому, что некоторые ученики поднимаются на самый высокий уровень, получая хорошие оценки и похвалу учителя, а другие опускаются на самый низкий, причем большинству учеников известно их место в иерархии. Такие уроки одноплановые, поскольку на них есть только один способ добиться успеха. На многоплановых уроках математики учителя используют все методы работы.

Например, дети выполняют вычисления, а вдобавок задают интересные вопросы, предлагают идеи, устанавливают связи между разными методами, используют много разных форм представления, выстраивают цепочки логических рассуждений и предпринимают много других действий. Математика — широкая и многоплановая дисциплина. В классах, где применяется комплексный метод, учителя оценивают знания учеников по многим аспектам математики. На стенах классных комнат школы Рейлсайд был вывешен такой девиз комплексного обучения:

Никто не может успешно применять все эти методы работы, но каждый может овладеть некоторыми из них.

Во время бесед с учениками, принимавшими участие в нашем исследовании, мы задавали такой вопрос: «Что необходимо для достижения успеха в математике?» 97% детей, которых обучали в соответствии с традиционным подходом, дали один и тот же ответ: «Работать очень внимательно». Это пассивный подход, который ассоциируется с низким уровнем успеваемости (Bransford, Brown, & Cocking, 1999). Когда мы задали этот же вопрос на уроках в Рейлсайд, дети назвали целый ряд методов работы:

• постановка хороших вопросов;

• изменение формулировки задач;

• объяснение;

• использование логики;

• обоснование методов;

• использование развивающих материалов;

• установление связи между идеями;

• помощь другим.

Ученик по имени Рико сказал: «В средних классах мы просто отрабатывали математические навыки. Но здесь все работают вместе, стараются помогать другим и получать помощь. Это позволяет совершенствовать навыки общения, математические навыки и навыки логического мышления» (ученик Рейлсайд, год 1-й).

Рико рассказал нам о той широте математики, которую он испытал на своем опыте. Ученица по имени Жасмин добавила: «На уроках математики приходится взаимодействовать со всеми, разговаривать с ними и отвечать на их вопросы. Нельзя просто сказать: “Вот учебник, посмотри на числа и разберись во всем”». Когда мы спросили Жасмин, чем можно объяснить тот факт, что уроки математики отличаются от остальных, она сказала: «Это не один способ сделать что-то. Тут все интерпретируют по-своему. Это не только один ответ. Есть много способов все понять. К тому же возникает вопрос: “Почему это работает?”» (ученица школы Рейлсайд, год 1-й). Жасмин подчеркивает социальный и интерпретативный характер математики, когда ученики выходят за рамки учебника и чисел, чтобы осмыслить концепции, проанализировать разные подходы и обосновать ход своих мыслей, отвечая на важный вопрос «Почему это работает?»

В школе Рейлсайд учителя разработали многоплановые занятия с учетом многих аспектов. Это стало возможно благодаря постановке содержательных задач, которые учителя обозначили как задачи, заслуживающие внимания всей группы. Их трудно решить в одиночку, они требуют вклада разных членов группы.

Лани Хорн определяет задачи, заслуживающие внимания всей группы, как «задачи, которые иллюстрируют важные математические концепции, допускают разные формы представления, опираются на эффективное использование коллективных ресурсов группы и имеют несколько возможных решений» (Horn, 2005, p. 22). В примерах 7.1 и 7.2 приведены задачи, которые можно считать заслуживающими внимания группы (они взяты с сайта nrich.maths.org). Полное их описание можно найти в приложении.

ПРИМЕР 7.1. СОРТИРОВКА ЧИСЕЛ

Как насчет того, чтобы решить простую головоломку?

Эта задача предназначена для работы в группах из четырех человек. (Примечания учителей и их идеи по поводу расширения задачи можно найти здесь: http://nrich.maths.org/6947∂=note.)

1. Есть два пазла, которые учитель может распечатать для вас (см. ниже). Сложите каждый, а затем выложите все фрагменты на расчерченные квадраты, которые также можно распечатать.