Математика для гуманитариев. Живые лекции

А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11- и 13-угольник. Помните, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравнения выше 4-й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, вооружиться ими и хоть всю жизнь строить какие-то дуги, что-то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7-угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значительно раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правильный 17-угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17-угольника? Оказывается, 257-угольник. Это очень долго и сложно, но можно.

Вернемся к треугольным числам.

Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем

1 + 2 + 3 + 4 + … + m = х,

m + (m − 1) + (m − 2) + … + 1 = х.

Теперь сложим и получим m экземпляров какого числа? Числа (m + 1):

(m + 1)m = 2х.

Поэтому формула вот такая:

Теперь можно подставлять вместо m любые натуральные числа и получать треугольные.

А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треугольным, значит оно имеет такой вид

С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: n².

Получается замечательное уравнение для решения в целых числах

m(m + 1)/2 = n².

А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа а — это такое число, на которое а делится (без остатка).

m и (m + 1) — два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит m(m + 1)/2 — произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делителей.

15 делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.

16 делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.

Слушатель: А единица?

А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 7 — 35, а предыдущее — 21. Значит 27 на 7 не делится. То есть m и (m + 1) точно не имеют общих делителей.

В другой части нашего уравнения написан квадрат: n².

Его можно разложить на простые множители. И каждый такой множитель будет входить в разложение n² в четной степени. Например, если n делится на 5, то n² делится на 5².

Значит, чтобы выполнялось наше равенство, m(m + 1)/2 тоже должно делиться на 5². То есть на 25. Но m и (m + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 5².

И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Иными словами наше равенство возможно, только если каждый из m и (m + 1) является квадратом[20].

Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики. В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом раскладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидно — если вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.

Если же поверить в эту теорему, то получается следующее. Если n делится, скажем, на 11, то n² делится на 11², на 121. Значит, и m(m+1) делится на 11². Но 11 не может входить и в m, и в (m+1). Либо m делится на 11 в квадрате, либо (m + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если m(m + 1)/2 = n², то либо m = а² и (m + 1)/2 = b² в случае если m — нечетное, а (m + 1) — четное, либо наоборот m + 1 = b² и m/2 = а² (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля x² − 2у² = 1.

В первом случае получаем:

m = а² и (m + 1)/2 = b²  ⇒ m + 1 = 2b²,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а² − 2b² = − 1.

Во втором случае получаем:

m + 1 = b² и m/2 = а² ⇒ m = 2а² ⇒ b² − 2а² = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля x² − 2у² = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно-треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить одновременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

41² − 2 · 29² = −1.

Следовательно

(m + 1)/2 = 29², m = 41², n² = 29²41², n = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда-нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, какую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (√2 + 1)², хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получалось решение уравнения

x² − 2у² = 1?

Возвожу, например, в 4-ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)