Математика для гуманитариев. Живые лекции

6. В лиге чемпионов в группе 4 команды. Они играют каждая с каждой. Причем каждая с каждой играет и у себя, и в гостях. То есть в каждой группе между каждой парой команд произойдет ровно 2 матча. В случае ничьей каждой команде дают 1 очко. Тот, кто победил, получает 3 очка. Проигравший — ноль очков. А теперь — внимание! С каким минимальным количеством очков еще можно попасть в следующий раунд? В следующий раунд попадают 2 команды из 4. Вы должны привести конкретный расклад. Кто с кем играл, какие баллы получил. И доказать, что с меньшим числом очков «выйти из группы нельзя».

7. Каково максимально возможное количество родных прапрабабушек?

Обсуждение ответов — на лекции 5.

Лекция 5 От непонятного к неизвестному: Дикий Запад царицы наук

А.С.: Сначала обсудим задачи, заданные на дом в конце лекции 4. Они не являются обязательными и ничего не проверяют (в отличие от ЕГЭ). Просто они показывают особенности математического подхода в различных жизненных ситуациях. Всего задач было семь: 1) Обзор окрестностей с вершины горы; 2) Наблюдение московских звезд во время затмения; 3) Скорость наступления темноты в различные дни года; 4) Странное поведение детских качелей; 5) Полет девочки Алисы к антиподам; 6) Математика футбольного чемпионата; 7) А сколько у человека прапрабабушек?

Все разобрались, сколько у «среднего человека» прапрабабушек? (Несредним человеком будем называть такого, у которого две прапрабабушки (или два прадедушки) совпадают в одном лице. Всякое бывает. Например, изучение росписи русских дворянских родов приводит к выводу, что у А. С. Пушкина и Н. А. Романова (то бишь Николая I) были общие предки.)

Рис. 86. «Дерево» бабушек и прабабушек.

С каждым коленом удваивается количество как дедушек, так и бабушек (см. рис. 86). Папа один, мама одна, дедушек два, бабушек две, прадедушек уже четыре, и прабабушек тоже четыре, ну, а прапрабабушек, соответственно, получается восемь.

Теперь разберем задачу про футбол (рис. 87).

С каким минимальным количеством баллов можно выйти из группы в следующий раунд? Ниже приведен пример, когда это количество равно четырем (рис. 87, справа).

Рис. 87. Слева: Матчи команд самих с собой не имеют смысла. Справа: финальные счета в матчах, где А всех победил, в то время как прочие игры сыграны вничью.

Итак. «А» выигрывает все игры. Все остальные матчи сыграны вничью. (Напомним, что за победу дается 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0.)

Получается, что выходит из группы в следующий раунд лучшая команда «А» и еще одна из команд с 4 баллами. Я не знаю, было ли такое в лиге чемпионов, но с 6 баллами точно выходили.

Встает другой вопрос. Как доказать, что с 3 баллами выйти нельзя! Конечно, можно было бы перебрать все З¹² вариантов розыгрышей матчей (ибо имеется 12 незаполненных мест, и на каждом месте может быть 3 различных исхода). Но хотелось бы этого избежать. Давайте попробуем формально рассуждать. Как мы будем это делать? От противного. Предположим, что какая-то команда вышла с 3 баллами. Какие в этом случае количества баллов могут быть у всех команд? Вышеуказанный вариант для команд А, В, С, D был 18, 4, 4, 4. Если какая-то команда вышла в следующий раунд с 3 баллами, значит, как минимум у двух команд должно быть тоже не больше 3 баллов. Потому что иначе наша команда не вышла бы из группы. Раз она вышла, следовательно, у двух других команд баллов меньше или равно 3.

Вопрос: сколько баллов у команды, которая больше всех набрала?

В каждом матче разыгрывается суммарно или 2, или 3 балла (ничья дает 1 + 1, победа дает 3 + 0). Поэтому за все матчи все команды могут набрать минимум 2 · 12 = 24 балла, если все сыграли вничью, максимум — 3 · 12 = 36, если каждый матч был выигран.

В нашей ситуации три команды набрали не более, чем по 3 балла, в сумме 9, значит у четвертой команды не меньше 21 − 9 = 15 баллов.

Значит, она выиграла почти все матчи.

Давайте уточним, как команда могла набрать 3 балла. Она либо три раза сыграла вничью, либо один раз выиграла. Больше способов нет. Одна победа и 5 проигрышей, либо 3 ничьих и 3 проигрыша. Обозначим это так:

Вариант 1. + − − − − −

либо

Вариант 2. 0 0 0 − − −

Слушатель: Это значит, что 18 очков в розыгрыше.

А.С.: Рассмотрим вариант 1. В 6 матчах было разыграно 18 очков, значит, в оставшихся 6 матчах будет не менее 12 баллов, так как в каждом матче разыгрывается не менее 2 баллов. Значит, в сумме получается не меньше 30 баллов. Значит, у четвертой команды не менее 30−9 = 21, чего быть не может, так как максимальный результат любой команды равен 18, то есть все выигранные матчи.

Итак, вариант с одним выигрышем отпадает. Рассмотрим другой вариант: три ничьи.