Математика для гуманитариев. Живые лекции

В этот-то момент ученик и рванет к берегу. Ему надо проплыть 3/4 радиуса, а учителю пробежать π радиусов (так как это как раз длина полуокружности). Затраченное на это время равно 0,75/V = 4 · 0,75/W для ученика и π/W для учителя. Но 4 · 0,75 = 3 < π. Значит, ученик спасется.

Как, кстати, можно доказать, что π > 3? Если я докажу, значит, ученик сможет убежать. Что такое «пи»? Это длина половины окружности единичного радиуса. Как можно эту длину пощупать?

Был такой древний грек Евклид. Он сформулировал несколько принципов работы с геометрией — пять постулатов (то есть правил, справедливость которых очевидна). Вот четыре из них: 1) между двумя любыми точками можно провести прямую, 2) любую прямую можно неограниченно продолжать в любую сторону, 3) из любой точки любым радиусом можно нарисовать окружность, 4) все прямые углы равны. В формулировке употребляется слово «равенство». Несмотря на то, что оно так просто звучит, это — чрезвычайно сложная математическая концепция.

Первые двадцать восемь теорем книги Евклида «Начала» были сформулированы и доказаны только с использованием четырех постулатов. Он чувствовал, что с пятым постулатом что-то не так. Сейчас я его сформулирую: через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести, прямую, параллельную данной, и только одну. То есть прямую, которая не будет пересекать данную. У этого постулата длиннющая интереснейшая история.

Вернемся к числу π. Окружность — это кривая, соединяющая две точки. Так вот, по одной из аксиом Евклида, отрезок прямой, который соединяет две точки, короче любой кривой, их соединяющей. Рассмотрим вписанный шестиугольник. Каждая сторона правильного шестиугольника равна радиусу, то есть 1 (рис. 127).

Рис. 127. Почему π больше трех.

Он дает нижнюю оценку для числа π. Число π больше суммы трех сторон шестиугольника. А это как раз три. Так что ученик точно спасется от учителя-преследователя.

Чтобы точнее оценить значение π, достаточно привести в пример какой-нибудь правильный вписанный многоугольник, у которого сумма половины сторон еще больше, например, правильный 8-угольник. Сейчас мы найдем сумму его 4 сторон. Тогда само число π должно быть еще больше полученного значения.

Правильный 8-угольник, вписанный в круг радиуса 1, может быть разбит на 8 одинаковых равнобедренных треугольников с единичными боковыми сторонами и с углом 45° между ними. Отсюда легко подсчитать (с помощью так называемой «теоремы косинусов») что сторона этого 8-угольника имеет длину √(2-2√2). Значит, сумма четырех его сторон равна ≈ 3,0615. Следовательно, точное значение π превосходит 3,0615.

А для того, чтобы оценивать число π всё точнее и точнее, нужно «увеличивать число сторон до бесконечности».

Рассмотрим еще один пример бесконечности. Будем суммировать числа, обратные к квадратам натуральных чисел:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... .

Эта сумма коночная по величине, но бесконечная но количеству слагаемых. (В отличие от суммы 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., которая неограниченно возрастает по величине по мере увеличения количества слагаемых.) В принципе, оба утверждения совершенно неочевидны, так как мы не знаем, каким правилам подчиняются суммы с неограниченным количеством слагаемых. Сейчас я докажу, что сумма обратных квадратов натуральных чисел не может превышать числа «2».

Рассмотрим квадрат со стороной 1. Его площадь также равна 1. Теперь рассмотрим квадрат со стороной 1/2, а площадью 1/4 (рис. 128). Площадь следующего квадрата со стороной 1/3 равна 1/9.

Рис. 128. Геометрический смысл исходной суммы.

Нам нужно слагаемое 1/9, но я возьму с запасом. Вместо квадрата со стороной 1/3 рассмотрю квадрат со стороной 1/2. И, значит, с площадью 1/4. Понятно, что если новая сумма будет конечной, то и исходная тоже должна быть конечной, потому что я увеличил третье слагаемое.

Что я сделаю дальше? 1/16, 1/25, 1/36, 1/49 все заменю на 1/16. От этого сумма опять увеличится. А что такое одна шестнадцатая? Это площадь квадрата со стороной 1/4. Получаем 4 квадратика, так как мы поменяли четыре прежних слагаемых на четыре раза по 1/16 (рис. 129).

Рис. 129. Геометрический смысл увеличенной суммы. Как известно, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1.

Следующие восемь слагаемых я заменю на 1/64. И они займут еще одну полосочку, вдвое меньшей ширины, чем предыдущая.

Следующие шестнадцать слагаемых — еще одна полосочка и так далее. Итоговая сумма вся, целиком, будет меньше, чем площадь двух изначальных квадратов. Потому что каждая следующая полосочка по ширине вдвое меньше предыдущей. Поэтому вся сумма не больше двух (рис. 129).