Математика для гуманитариев. Живые лекции

Но хотелось бы узнать, чему она на самом деле равна. Ее посчитал Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории человечества. Он выяснил, что сумма обратных квадратов равна π²/6 ≈ 1.6449. И доказал это с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Дифференциальное и интегральное исчисления совершают чудеса. Потому что дифференциальное и интегральное исчисления — это способ простого перешагивания через бесконечность. Как устроено доказательство? Примерно так: предположим, что сумма меньше π²/6. Тогда она меньше на некоторую величину. Но этого быть не может: мы можем взять так много членов этой суммы, что разница между ней и числом π²/6 была меньше любого наперед заданного числа, в том числе и этой величины. Про бесконечную сумму обычно показывают, что она не может быть больше какого-то числа по одним соображениям, и меньше — по другим. На самом деле в доказательстве используются намного более сложные соображения, связанные с математическим анализом, которые и показывают, что эта сумма в точности равна π²/6.

Другая потрясающая страница развития математики связана с пятым постулатом Евклида. Евклид сформулировал пять постулатов. Но многие теоремы он доказал, не используя пятого постулата. Из-за этого геометры стали думать, что пятый постулат на самом деле не постулат, а теорема, и он должен следовать из предыдущих четырех. С античных времен до середины XIX века ученые пытались доказать это. Сначала пытались вывести этот постулат из других, а потом пошли от противного: допустим, 5-й постулат НЕВЕРЕН. Что из этого будет следовать? Некоторых ученых интересовал вопрос: может быть, нам только кажется, что через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. А на самом деле, если рядом через эту же точку нарисовать еще одну прямую (почти неотличимую от первой), она тоже будет параллельна данной (только мы этого не можем разглядеть) (рис. 130).

Рис. 130. Этот пятый постулат дал им всем прикурить!

Значит, если так, то должна быть какая-то непротиворечивая геометрия, в которой пятый постулат будет заменен на альтернативный. Например, что через данную точку можно провести как минимум две прямые, не пересекающие исходную. И вот ученые начинают пытаться привести к логическому противоречию такое предположение. И каждый из них, обнаружив какие-то необычные следствия, говорит: ну а это уже полный абсурд. Например, пятый постулат эквивалентен утверждению, что сумма углов треугольника равна 180°. И, если пятый постулат неверен, то в такой геометрии не существует ни одного треугольника с суммой углов, равной 180°. Ну, это же абсурд! Значит, — говорили ученые, — всё доказано. Никто не замечал, что абсурд наступает исключительно из-за непривычности этих следствий, а не как логическое противоречие. Возьмите сферу и посмотрите, какая будет сумма углов у треугольника на сфере. Она всегда БОЛЬШЕ 180 градусов (нарисуйте треугольник на глобусе и убедитесь в этом! Только учтите, что «прямой» на глобусе является кратчайший путь, то есть «дуга большого круга»). Этот пример показывает, что логических противоречий в таком факте нет.

Следующий шаг работы математиков привел к эквивалентности пятого постулата и утверждения, что существует хотя бы два подобных, но не равных друг другу треугольника. Опять же, на сфере нет такого понятия, как «подобие фигур». Абсолютно нетривиальное утверждение про поверхность нашей планеты. Нарисуем два треугольника на поверхности земного шара, или на глобусе, например, треугольник Москва — Лондон — Иркутск и треугольник (Нью-Йорк) — (Лос-Анджелес) — (Рио-де-Жанейро). Если мы измерим углы у этих двух треугольников и, например, обнаружим, что они попарно равны друг другу, то и сами треугольники окажутся равными, то есть совмещающимися движением сферы — поворотом, отражением или их композицией[29]. А тогда и соответствующие стороны у них будут равными, то есть попарные расстояния между городами окажутся одинаковыми! (Разумеется в приведённоми выше примере это не так.)