Математика для гуманитариев. Живые лекции

Что такое «разделить» одно число на другое? Скажем, что такое разделить 6 на 3? Это значит найти такое число, которое при умножении на 3 дает 6. Это число 2. А если вы 5 разделите на 3, получится дробное число, среди целых чисел его не найти. Содержательная теория делимости, в частности понятие простого числа, относится только к целым числам. Если вы рассматриваете все дроби, делимость совершенно бессмысленна. Потому что любую дробь можно разделить на любую, главное только на 0 не делить. Но если вы формально попробуете разделить, например, 5 на 0, то вы должны найти такое число, которое при умножении на ноль даст 5. Но вы явно не преуспеете в этом, потому что, какое бы вы число ни взяли, при умножении на 0 оно даст 0. Поэтому 5 на 0 разделить нельзя в принципе. А можно ли разделить 0 на 0? Нужно найти такое число, которое при умножении на ноль дает ноль.

Слушатель: Ноль.

Другой слушатель: Любое.

А.С.: Любое. То есть ноль на ноль, формально говоря, можно разделить, но в результате получится любое число, это математикам тоже не нравится, поэтому решили договориться так, что на ноль просто не делят. А ноль можно разделить на что-нибудь?

Слушатель: На всё, кроме нуля.

А.С.: Да. И что получится?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Только ноль. Да. Ноль можно разделить на что угодно, кроме нуля. В ответе всегда будет ноль.

Теперь число единица. Единицу тоже не считают простым числом, потому что на единицу делится любое число.

Итак, первое простое число — 2. Оно делится только на себя и на единицу. Больше четных простых чисел нет, потому что все остальные четные числа делятся на 2. Следующее простое число — это 3, затем число 5. Вот как выглядят первые простые числа:

P₁ =2, Р₂ = 3, Р₃ = 5,

а далее

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …, P_N.

Если утверждение Евклида неверно, то есть если простых чисел конечное число, то в какой-то момент выпрыгнет последнее простое число. Обозначим его за P_N. Получается, что количество простых чисел равно N.

Если Евклид неправ, то значит существует последнее простое число, а каждое из следующих чисел делится на какое-то из предыдущих простых чисел. Потому что если число делится на какое-то число, то оно и на простое число тоже делится, просто нужно делить, делить — пока не дойдете до простого. Давайте теперь составим произведение: 2 · 5 · 7 · 11 · 13 · … · P_N (точка — знак умножения).

Если N имеет порядок, например, нескольких миллиардов, то в этом произведении стоит несколько миллиардов множителей, которые нужно друг на друга умножить. Но натуральный ряд так устроен, что к любому, сколь угодно большому числу можно прибавить 1.

Так что давайте посмотрим на следующее натуральное число:

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · … · P_N + 1.

Оно не может делиться ни на какое из предыдущих простых чисел, потому что наше произведение от 2 до P_N делится на все предыдущие, а если еще единичку прибавить, то делимость сразу уйдет. Если что-то, например, на 3 делится, то следующее число уже на 3 не делится. Поэтому, число 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 ·… · P_N + 1 заведомо не может делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5 и так далее… То есть оно всегда дает остаток 1 при делении на все простые числа. Оно нацело ни на что не разделится. Значит, оно простое. Противоречие. Следовательно, простых чисел бесконечное количество.

Некоторое время, правда, недолго, ученые думали, что таким образом можно получить рецепт изготовления простых чисел.

2 + 1 — простое число.

2 · 3 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 · 7 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 — уже не простое (30031), так как оно делится на 59.

Рецепт не работает.

Мы знаем, что простые числа в натуральном ряду чисел встречаются в бесконечном количестве. А теперь вопрос, как они распределены? Можно ли тут какие-то закономерности установить? Насколько часто или редко они встречаются?

Рассмотрим такое произведение

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 100 = 100! (называемое «сто факториал»).

100 факториал — это произведение подряд идущих натуральных чисел от 1 до 100.

Это — огромное число, его невозможно себе даже представить, но все-таки где-то в натуральном ряду оно есть. Следующее за ним число 100! + 1, потом 100! + 2. Это число будет делиться на 2. Потому что 100! делится на 2, и 2 делится на 2. 100! + 3 делится на 3, 100! + 4 делится на 4 и на 2, 100! + 5 делится на 5.