Методика преподавания математики в начальной школе

Самый древний документ в Европе, в котором для нуля имеется свой знак (0), относится к IX в. В одной из книг, написанной на латинском языке в XIII веке, нулем назван «кружок», или цифра, или знак ничего. С тех пор за ним утвердилось название «фигура нуль», что означало «никакой знак». Словом цифра стали называть знаки, обозначающие число единиц в любом разряде, в том числе цифрой назвали и единицу, а позже и сам нуль.

В первом русском учебнике «Арифметика» Л.Ф.Магницкого, напечатанном в 1689г., нуль назван цифрой или ничем. Спустя несколько лет и в России знак 0 стали называть нулем, а знаки чисел 1,2,3,4…9 называли цифрами. Однако и на этом открытие нуля не закончилось, хотя он приобрел свой вид, получил название, обрел свое место. Но не было решено – нуль цифра или число; если число, то какое: четное или нечетное?

В результате длительных обсуждений математике пришли к заключено: нуль – это число, обозначают его цифрой 0, к натуральному ряду он не принадлежит. С нулем можно производить все действия, за исключением деления на нуль.

Как мы узнали из исторической справки, данной профессором Л.П.Стойловой, о возникновении понятия числа было важнейшим моментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика». Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Следовательно, арифметика – это наука о числе.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с ХIII века – европейские ученые.

Термин «натуральное число» впервые употребил в V веке римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги «О введении в арифметику», которая до ХVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине ХIХ века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано.

2. Отрезок натурального ряда. Счет элементов конечного множества

      Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке: имеется первый элемент, для каждого имеется последующий и предыдущий. Т.е. натуральное число имеет порядковый смысл. Но число имеет и количественный смысл.

С этой целью используется понятие отрезка натурального ряда.

Определение: Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Это записывается так: Na ={ х | х € N и х ≤ а}.

Например: N7 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отрезок натурального ряда обладает двумя свойствами:

1) любой отрезок натурального ряда Na содержит единицу (по аксиоме);

2) если число х содержится в отрезке Na и х ≠ а, то и непосредственно следующее за ним число х + 1 также содержится в Na.

Действительно, если х € Na и х ≠ а, то х < а. А это значит, что существует такое натуральное число с, что а = х + с.

Если с = 1, то а = х + 1. Следовательно, х + 1 содержится в Na.

Если с > 1, то с – 1 – натуральное число, и следовательно,

а = х + с =(х + 1) + (с – 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 – натуральное число, принадлежащее отрезку Na.

Для выполнения счета элементов в множестве важно определение конечного множества:

Множество А называют конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Na натурального ряда.

Если посчитать количество сторон в квадрате, то это конечное множество В, т.к. оно равномощно отрезку N4 ={1, 2, 3, 4}, В ~ N4.

Определение счета: Счетом называется установление взаимно-однозначного соответствия между каждым предметом данного множества и словами-числительными, называемыми в определенной последовательности (последовательности N – натурального ряда чисел).

Результат счета не зависит от порядка, в котором считаются элементы данного множества.

В слове квадрат можно посчитать буквы в разном порядке: слева направо и справа налево. Количество букв не изменится – 7.