Методика преподавания математики в начальной школе

В математике дают определение числу, полученному при счете так:

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Na, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут

n(А) = а .

Значит, множество сторон квадрата n(А) = 4.

В процессе счета используют и порядковые и количественные числительные. Они взаимосвязаны: элементы множества упорядочиваются с помощью отрезка натуральных чисел: первый, второй, третий, … и т.д.

А

первый второй третий четвертый       пятый

После того как каждый элемент пронумерован, можно дать ответ на вопрос: «Сколько элементов в множестве?»

Но можно при счете использовать и количественные числительные. При этом мы называем количественное число (один, два, три, … и т.д.), показывая все предметы, обозначаемые этим числительным.

А

один

два

три

четыре

      пять

При порядковом счете указывается каждый элемент, а при количественном – группы предметов.

При счете важно знать правила правильного счета:

1) счет начинается с единицы;

2) нельзя пропускать ни одного предмета;

3) нельзя предметы указывать дважды;

при счете используются порядковые числительные, последнее числительное обозначает количество предметов в данном множестве.

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Если выполнять счет, то все непустые множества можно разбить на классы равномощных множеств (отношение равномощности является отношением эквивалентности). Множества одного класса могут быть различными по своей природе, но содержать одинаковое число элементов. Это число будет общим свойством классов конечных множеств:

n(А) = а, n(В) = в.

Если n(В) = а, то множества А и В равномощны.

Значит, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественной позиции – число элементов пустого множества, т.е. множества не содержащего ни одного элемента:

0 = n(Ø).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете: а = n(А), причем А ~ Nа;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теоретико-множественный смысл отношения «меньше» на множестве натуральных чисел

Устанавливая связь между конечными множествами и натуральными числами, можно дать теоретико-множественное толкование отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определяется таким образом:

а < b <=> (Ɏ с ЄN) [а + с = b].

Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда чисел Nа является собственным подмножеством отрезка Nb, т.е.

Nа c Nb и Nа ≠ Nb.

Справедливо и обратное утверждение, что: если Nа – собственное подмножество Nb, то а < b.

Тем самым отношение «меньше» приобретает смысл:

а < b в том и только том случае, когда отрезок натурального ряда чисел Nа является собственным подмножеством отрезка Nb:

а < b <=> Nа c Nb и Nа ≠ Nb.

Например: 5 < 8 следует из того, что А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

А ={1, 2, 3, 4, 5} c В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

В начальной школе об этом говорят так: «Число а меньше b тогда и только тогда, когда число а называется раньше числа b».

Такая трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание натурального ряда чисел и места каждого числа в нем.

Но часто сравнивают числа, используя связь их с конечными множествами.

Например:

Если 6 – это число треугольников, а 8 – это число квадратов, то 6 < 8, потому что во втором множестве можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству треугольников. Т.е. множество треугольников равномощно отрезку N6, а множество квадратов равномощно отрезку N8 и

N6 c N8.

В общем виде этот подход обосновывается так:

Пусть а = n (A), b = n (B), и а < b.

Тогда А ~Nа, B ~Nb и Nа c Nb.

Последнее отношение означает, что в множестве В можно выделить подмножество В1, равномощное множеству А, т.е.

а < b <=> А ~ В1, где В1 с В, В1 ≠ В, В1 ≠ Ø.

Таким образом, с теоретико-множественной позиции отношение «меньше» приобретает смысл: если а = n (A), b = n (B) и множество А равномощно собственному подмножеству множества В, то а < b.