Models of the Mind

По словам Кардано, "азартные игры - это не что иное, как мошенничество, числа и удача". Поэтому, помимо обсуждения чисел, он постарался посвятить более двух глав теме мошенничества. В основном речь шла о том, как заметить мошенника: "Кость может быть нечестной либо потому, что она закруглена, либо потому, что она слишком узкая (недостаток, который хорошо виден)". В книге также давались советы, как справиться с шулером, если вы его заметили: "Если вы подозреваете мошенничество, играйте на маленькие ставки, приглашайте зрителей". Хотя стоит отметить, что автобиография Кардано предлагает совсем другой взгляд на реакцию. В главе под названием "Опасности, несчастные случаи и постоянные предательства" он вспоминает случай, когда заметил, что карты человека помечены, и "я порывисто, хотя и неглубоко, ударил его по лицу своим понтиардом".

Важно отметить, что Кардано ясно дал понять, что большинство его расчетов вероятностей справедливы только в том случае, если используемые кости были честными, а не если он играл "в доме профессионального шулера" (как он описал инцидент выше). В этом случае вероятности нужно было бы "сделать настолько больше или меньше, насколько это соответствует отклонению от истинного равенства".

Учет различных вероятностей при различных условиях - например, если игрок жульничает - впоследствии стал известен как условная вероятность. Условную вероятность можно представить как простое утверждение "если - то". Если вам известно, что X истинно, то какова вероятность того, что Y тоже истинно? Например, учитывая, что кубик честный, вероятность того, что при броске выпадет двойка, равна 1/6. В противном случае вероятность будет равна, скажем, 1/3, если вы играете с шулером, который изменил кубик так, чтобы он предпочитал двойки. Таким образом, вероятность события зависит от обстоятельств, которыми оно обусловлено.

Одной из тем, которая ставила математиков в тупик на протяжении столетий после Кардано, был вопрос об обратной вероятности. Стандартная вероятность может сказать, как разные кости создают разные шансы, но цель обратной вероятности заключалась в том, чтобы пойти другим путем - обратить рассуждения и найти причину, стоящую за следствиями.2 Например, если Кардано не знал, участвует ли он в игре с шулером или нет, он мог наблюдать за бросками кости, чтобы попытаться определить, была ли она предвзятой. Если выпадало слишком много двоек, он мог заподозрить неладное (хотя, надеюсь, держал бы свою пинаду при себе).

Французский математик Пьер-Симон Лаплас работал над проблемой обратной вероятности с перерывами на протяжении 40 лет своей карьеры. Кульминация наступила в 1812 году, когда была опубликована "Аналитическая теория вероятностей". Здесь Лаплас демонстрирует простое правило, которое впоследствии станет одним из самых важных и влиятельных открытий в математике

Правило гласит, что если вы хотите узнать вероятность того, что кубик взвешен, вам нужно объединить два разных понятия. Первое - это вероятность того, что броски, которые вы видели, могли быть сделаны взвешенным кубиком, а второе - вероятность того, что кубик вообще взвешен. Более технически это обычно выражается так: вероятность вашей гипотезы ("кубик взвешен") с учетом ваших доказательств (бросков, которые вы видели) пропорциональна вероятности ваших доказательств с учетом вашей гипотезы (вероятность того, что вы увидите эти броски, если кубик взвешен), умноженной на вероятность вашей гипотезы (насколько вероятно, что кубик взвешен изначально) (см. Рисунок 22).

Допустим, три раза подряд на кубике выпало "два", и вы хотите узнать, не хотят ли вас подвезти. Если кубик честный, то вероятность такой полосы равна 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216. Это можно назвать вероятностью доказательства, если верить, что кубик честный. С другой стороны, кубик может быть взвешен так, чтобы бросать двойку, скажем, в одной трети случаев. Вероятность доказательства при гипотезе, что кубик взвешен таким образом, будет равна 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/27. Сравнивая эти числа, становится ясно, что вероятность выпадения трех двоек подряд на взвешенном кубике гораздо выше, чем на честном; похоже, вы играете с шулером.

Но этих цифр недостаточно. Чтобы сделать правильный вывод, согласно правилу, нам нужно объединить их с дополнительной информацией. В частности, нужно умножить эти числа на общую вероятность того, что кубик будет взвешен или нет.

Допустим, в этом случае ваш партнер по азартным играм - ваш самый близкий друг с многолетним стажем. Вы бы оценили вероятность того, что он использует взвешенный кубик, как 1 к 100. Умножив вероятность выпадения трех двоек при использовании взвешенного кубика на низкую вероятность того, что кубик взвешен, мы получим 1/27 x 1/100 = 1/2 700 или 0,00037. Проделав это для другой гипотезы - о том, что кубик невзвешенный, - мы получим 1/216 x 99/100 = 0,0045. Если второе число больше первого, то вы справедливо заключите, что ваш друг на самом деле не мошенник.