Отличная квантовая механика

Теперь мы переходим к обсуждению линейных операторов, представляющих собой ключевой элемент квантовой физики[28]. Они играют двоякую роль. Прежде всего операторы описывают эволюцию: с течением времени квантовые состояния изменяются, и это изменение математически выражается операторами. Второе, несколько менее очевидное, приложение линейных операторов состоит в формальном описании квантовых измерений. В этом разделе мы начнем с первой их роли.

Упражнение 1.22. Найдите матрицу оператора |+⟩⟨—| в каноническом базисе и базисе {|R⟩, |L⟩}.

Упражнение 1.23. Найдите в каноническом базисе матрицу линейного оператора Â, отображающего

a) |H⟩ на |R⟩ и |V⟩ на 2 |H⟩;

b) |+⟩ на |R⟩ и |—⟩ на |H⟩.

Примером физической операции, которую можно связать с квантовым оператором, может служить волновая пластинка, изменяющая состояние поляризации фотона. Чтобы рассчитать этот оператор, мы должны принять некоторое соглашение. Как сказано в разд. В.3, волновая пластинка изменяет относительную фазу необыкновенной (параллельной оптической оси) и обыкновенной (перпендикулярной оптической оси) поляризаций на угол ∆ϕ, который равен π для полуволновой пластинки и π/2 для четвертьволновой. Кроме того, она вводит общий сдвиг фазы для всей волны.

Эти оптические фазовые сдвиги в применении к единичному фотону превращаются в квантовые фазовые сдвиги. Общим фазовым сдвигом, одинаковым для всех компонентов поляризации, можно пренебречь (см. разд. 1.3). Мы, однако, должны договориться, как с ним обращаться в наших выкладках. Будем считать, что волновая пластинка не дает фазового сдвига на обыкновенный компонент поляризации, тогда как необыкновенный ее компонент претерпевает фазовый сдвиг ∆ϕ. Иными словами, волновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом θ к горизонтали, производит следующие преобразования:

Упражнение 1.24. Найдите в каноническом базисе матрицы операторов, связанных с полуволновой и четвертьволновой пластинками с оптической осью, ориентированной под углом α к горизонтали, при помощи следующего пошагового алгоритма:

a) Напишите оператор Â_∆ϕ, связанный с преобразованием (1.4), в виде уравнения (A.25).

b) Выразите каждый бра- и кет-вектор в ответе пункта a) в матричной форме в каноническом базисе и вычислите матрицу результирующего оператора.

c) Подставьте значения ∆ϕ для полуволновой и четвертьволновой пластинок.

Ответ:

Упражнение 1.25. Пользуясь результатом предыдущего упражнения, убедитесь в верности следующих утверждений:

a) при применении к фотону, линейно поляризованному под углом θ, полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом α, дает фотон, линейно поляризованный под углом 2α — θ, в соответствии с рис. В.4;

b) четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной горизонтально или вертикально, превращает фотон с круговой поляризацией в фотон с поляризацией под ±45° и наоборот в соответствии с упр. В.9.

Отступление 1.6. Как получить фотон?

Вот самый очевидный, но неверный ответ на этот вопрос: использовать ослабленный сигнал лазера. Предположим, у нас есть импульсный лазер со средней мощностью P и частотой повторения импульсов R. Тогда каждый импульс лазера содержит n = P/Rℏω фотонов, где ω — частота излучения лазера. Поэтому можно, казалось бы, разместить на пути лазерного луча ослабитель (темное стекло), который уменьшал бы его мощность в n раз, так чтобы каждый импульс содержал ровно один фотон.

Эти рассуждения ошибочны, поскольку не учитывают, что реальное число фотонов в импульсах, проходящих через ослабитель, будет стохастическим в соответствии с распределением Пуассона (см. разд. Б.3). Хотя в среднем, возможно, действительно получится один фотон на импульс, это не означает, что каждый импульс будет содержать ровно один фотон. Иногда фотонов в импульсе вообще не окажется, иногда там будет один фотон, иногда два или больше.

Несмотря на это возражение, в некоторых случаях ослабленный лазер служит полезной заменой настоящего источника фотонов. В частности, в практической квантовой криптографии лазер ослабляется до чрезвычайно низкого уровня, так чтобы вероятность того, что каждый импульс содержит хотя бы один фотон, стала весьма малой. Тогда вероятность содержания в импульсе более одного фотона пренебрежимо мала, и безопасность связи не страдает.