Отличная квантовая механика

Чтобы гарантировать генерацию единичного фотона «по требованию», нужны более хитроумные схемы. Например, единичный двухуровневый атом, будучи возбужденным, автоматически вернется в основное состояние, излучив при этом ровно один фотон. Практическая реализация такого источника, однако, представляет серьезные трудности. Во-первых, необходимо поймать единичный атом и неподвижно удерживать его в ходе всего эксперимента. Во-вторых, фотон будет излучен в случайном направлении. Чтобы заставить атом излучать в каком-то конкретном направлении, физики иногда окружают его резонатором Фабри — Перо. Этот метод развился в целое научное направление, называемое квантовой электродинамикой в резонаторе.

Чтобы обойти необходимость в захвате атома, эксперименты проводят с твердотельными атомоподобными источниками, такими как единичные дефекты кристаллической решетки или квантовые точки. Идея та же: взять объект, в котором возможен только один квант возбуждения с определенной энергией. Пока я пишу эту книгу, подобные эксперименты стремительно развиваются в сторону большей эффективности и лучшей воспроизводимости получаемых фотонов.

Многие физики используют мощный альтернативный подход к приготовлению единичных фотонов — спонтанное параметрическое рассеяние (spontaneous parametric down-conversion). Это нелинейный квантово-оптический процесс, который происходит, когда сильный лазерный луч проходит сквозь кристалл с нелинейными оптическими свойствами. Каждый фотон луча может при этом спонтанно расщепиться на два менее энергичных фотона. Данное событие имеет очень низкую вероятность. Однако у него есть фундаментальное свойство: в нем каждый раз рождается именно пара фотонов. Так что если мы зарегистрируем один из этих фотонов, то будем знать наверняка, что появилась также и его копия, — и можем с ней экспериментировать.

Такое устройство называется источником объявленных одиночных фотонов (heralded single photon source), потому что обнаружение одного фотона «объявляет» о присутствии второго. Этот источник не способен производить фотоны «по требованию»; он только сигнализирует о появлении спонтанно испущенного фотона, не разрушая его. Поэтому его применение в квантовых технологиях ограничено. Однако, поскольку у нас пока нет надежного способа приготовления единичных фотонов по заказу, источники объявленных фотонов широко используются в экспериментальных квантово-оптических исследованиях.

Упражнение 1.26.Операторы Паули[29] определяются как

или в матричной записи

Предложите реализацию этих операторов средствами волновых пластинок.

Подсказка: найдите состояния, на которые операторы Паули отображают |H⟩ и |V⟩, затем используйте упр. 1.24.

Упражнение 1.27. Матрица оператора Адамара Ĥ в каноническом базисе равна:

a) Выразите этот оператор в нотации Дирака.

b) На какие состояния Ĥ отображает |H⟩ и |V⟩?

c) Как можно реализовать этот оператор с помощью волновых пластинок?

1.8. Проекционные операторы и ненормированные состояния

Ранее мы постулировали, что физические квантовые состояния имеют норму 1. Давайте теперь расширим это соглашение. Норма вектора состояния |a⟩ может быть меньше единицы; это означает, что состояние |a⟩ существует не точно, а с вероятностью, равной квадрату его нормы:

pr_a = ║ |a⟩ ║² = ⟨a|a⟩. (1.8)

Такие состояния называют ненормированными.

Рассмотрим проективное измерение состояния |ψ⟩ в базисе {|𝑣_i⟩}. Каноническая формулировка постулата об измерениях гласит, что измерение превращает |ψ⟩ в одно из |𝑣_i⟩ с вероятностью (1.3). Воспользовавшись расширенным соглашением, мы можем сказать, что это измерение превращает |ψ⟩ в набор ненормированных состояний Каждое пропорционально |𝑣_i⟩, но вероятность его существования равна квадрату его нормы:

Это можно записать иначе:

где мы ввели проекционный оператор (projection operator или projector):

Например, неразрушающее измерение состояния в каноническом базисе дает следующие ненормированные состояния:

Состояние представляет горизонтально поляризованный фотон, существующий с вероятностью pr_H = 4/5, а состояние — вертикально поляризованный фотон, существующий с вероятностью pr_V = 1/5.

Интерпретировать измерения на языке проекционных операторов часто оказывается удобным, как мы увидим позже.

Упражнение 1.28. Найдите матрицу проекционного оператора, связанного с базисным состоянием |𝑣₂⟩ в базисе {|𝑣_i⟩} для гильбертова пространства размерности N = 4.

1.9. Квантовые наблюдаемые

1.9.1. Наблюдаемые операторы