Отличная квантовая механика

Упражнение 1.40. Повторите доказательство без предположения (1.22). Остался бы принцип неопределенности (1.21) в силе, если бы правая часть уравнения равнялась

Упражнение 1.41. Покажите, что если  то правая часть неравенства неопределенностей не зависит от |ψ⟩:

Упражнение 1.42. Для

Принцип неопределенности Гейзенберга — одно из важнейших следствий квантовой физики и одно из главных ее отличий от физики классической. В те времена, когда квантовая механика только зарождалась, этот принцип был одной из самых противоречивых идей. Как и постулат об измерениях, принцип неопределенности прямо противоречил детерминистской картине мира, принятой тогда в классической физике. Согласно этой картине, любая неопределенность, полученная в ходе измерений, являлась следствием несовершенства измерительной техники, и путем усовершенствования этой техники ее можно было снижать до бесконечности. В рамках квантовой механики это не так: если создать устройство, способное точно измерить одно наблюдаемое в каком-то конкретном состоянии системы, то эта установка, какой бы замечательной она ни была, обязательно покажет плохой результат при измерении другого наблюдаемого.

Особенно интересен случай из упр. 1.41. Если коммутатор двух наблюдаемых пропорционален единичному оператору, то произведение их неопределенностей имеет нижнюю границу для всех состояний. Пример такой пары — координата и импульс, которые мы будем изучать в главе 3. Их коммутатор равен iℏ, из чего следует, что произведение неопределенностей для любого состояния не может быть меньше

1.10. Квантовая эволюция

Наша цель в этом разделе — выяснить, как меняются (эволюционируют) квантовые состояния со временем: при заданном начальном состоянии |ψ(0)⟩ физической системы нам нужно определить ее состояние |ψ(t)⟩ в произвольный момент времени. В классической физике полный набор уравнений движения можно получить из гамильтониана (полной энергии) системы. В гамильтониане заключена вся информация о зависящем от времени поведении системы, для любого ее начального состояния. Как мы увидим, это верно и для квантовой физики.

Правила квантовой эволюции невозможно вывести из тех постулатов, которые мы изучали до сих пор. Поэтому применим здесь ту же тактику, которую использовали при выработке постулата об измерениях. Сначала проведем интуитивные физические рассуждения об эволюции конкретной физической системы — фотона. Затем обобщим их на остальные системы и придадим им строгий вид.

Посмотрим еще раз на уравнение (1.2). Эволюция состояния фотона здесь заключена в общем фазовом множителе e^−iωt.

До сих пор мы не обращали на него внимания, потому что, согласно нашим рассуждениям, он никак не влияет на физические свойства состояния. Но теперь давайте рассмотрим этот множитель подробнее.

Вспомнив, что энергия фотона равна E = ℏω, мы можем записать (1.24) в виде

где индекс E напоминает нам, что мы имеем дело с состоянием определенной энергии (в данном случае с фотоном определенной частоты).

Следующий наш шаг заключается в привлечении гипотезы де Бройля; согласно ей, не только фотоны, но и все свободно движущиеся частицы могут быть связаны с волнами, пространственно-временное поведение которых описывается множителем где k = p/ℏ. В главе 3 мы обсудим данную гипотезу несколько глубже; пока же заметим лишь, что зависимость от времени у волны де Бройля такая же, как в уравнении (1.25). Это приводит нас к выводу о том, что (1.25) справедливо не только для фотонов, но и для всех свободно движущихся квантовых частиц. Мы постулируем, что такое поведение даже более универсально, т. е. что оно верно для всех нерелятивистских квантовых объектов во Вселенной, при условии что они находятся в состоянии с определенной энергией — т. е. в одном из собственных состояний оператора энергии (гамильтониана).

Поговорим об этом операторе подробнее. Поскольку он соответствует некоторому физическому наблюдаемому, он эрмитов и потому допускает спектральное разложение

где собственные состояния с определенной энергией {|E_j⟩} образуют базис, в котором может быть разложено любое произвольное состояние:

Каждый компонент данного разложения меняется во времени согласно (1.25). Поскольку эта эволюция линейна, мы можем записать:

Мы постулируем, что это уравнение универсально и применимо к эволюции всех квантовых состояний.

Упражнение 1.43. Пусть начальное состояние некоторой системы есть суперпозиция двух энергетических собственных состояний Найдите наименьшее положительное значение момента времени t, в который состояние |ψ(t)⟩ будет физически эквивалентным

Мы видим, что в то время как для энергетических собственных состояний (например, в случае состояний поляризации фотона определенной частоты) квантовая эволюция соразмеряется с нефизичным фазовым множителем, другие состояния все же меняют со временем свои физические свойства.